专题6 数学归纳法 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■ ２０　 ■  !" ６ # $5678 ! ?"#$%? ! 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　１．用数学归纳法证明等式：－１＋３－５＋７＋… ＋（－１）ｎ（２ｎ－１）＋（－１）ｎ＋１（２ｎ＋１）＋ （－１）ｎ＋２（２ｎ＋３）＝（－１）ｎ＋２（ｎ＋２）．要验 证当ｎ＝１时等式成立，其左边的式子应为 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　Ａ．－１ Ｂ．－１＋３ Ｃ．－１＋３－５ Ｄ．－１＋３－５＋７ ２．用数学归纳法证明２ ｎ－１ ２ｎ＋１ ＞ ｎｎ＋１对任意 ｎ＞ｋ （ｎ，ｋ∈Ｎ）的自然数都成立，则 ｋ的最小值 为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ３．用数学归纳法证明“２ｎ＞ｎ２对于ｎ≥ｎ０的正整 数ｎ都成立”时，第一步证明中的初始值 ｎ０ 应取 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ４．用数学归纳法证明不等式“１＋１２＋ １ ３＋… ＋ １ ２ｎ ＜ｎ（ｎ∈Ｎ，ｎ≥２）”时，由 ｎ＝ｋ（ｋ≥２）时 不等式成立，推证 ｎ＝ｋ＋１时，左边增加的 项数是 （　　） Ａ．２ｋ－１ Ｂ．２ｋ－１ Ｃ．２ｋ Ｄ．２ｋ＋１ ５．用数学归纳法证明 １＋２＋３＋… ＋ｎ２ ＝ （１＋ｎ２）ｎ２ ２ 时，由ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ＋１，左边需要 添加的项数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．ｋ Ｃ．ｋ２ Ｄ．２ｋ＋１ ６．用数学归纳法证明不等式“ １ｎ＋１＋ １ ｎ＋２＋… ＋ １ｎ＋ｎ＞ １３ １４”的过程中，由 ｎ＝ｋ递推到 ｎ＝ｋ ＋１时，不等式左边 （　　） Ａ．增加了一项“ １２（ｋ＋１）” Ｂ．增加了两项“ １２ｋ＋１”和“ １ ２（ｋ＋１）” Ｃ．增加了一项“ １２（ｋ＋１）”，但又减少了一项 “ １ ｋ＋１” Ｄ．增加了两项“ １２ｋ＋１”和“ １ ２（ｋ＋１）”，但又 减少了一项“ １ ｋ＋１” ７．已知经过同一点的ｎ（ｎ∈Ｎ，ｎ≥３）个平面， 任意三个平面不经过同一条直线，若这 ｎ个 平面将空间分成 ｆ（ｎ）个部分．现用数学归纳 法证明这一命题，证明过程中由ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ ＋１时，应证明增加的空间个数为 （　　） Ａ．２ｋ Ｂ．２ｋ＋２ Ｃ．ｋ ２＋ｋ＋２ ２ Ｄ．ｋ ２＋ｋ＋２ ８．用数学归纳法证明：（１２＋１）＋（２２＋２）＋…＋ （ｎ２＋ｎ）＝１３ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ为正整数）                             ． ! " # $% & ■■ ２１　 ■ ９．已知正数列 ａ{ }ｎ 满足ａ ２ ｎ＝１ ３＋２３＋…＋ｎ３． （１）求ａ１，ａ２，ａ３的值； （２）试猜想数列 ａ{ }ｎ 的通项公式，并用数学 归纳法证明你的结论． １０．用数学归纳法证明：１＋１ ２２ ＋１ ３２ ＋… ＋ １ （ｎ＋１）２ ＜２（ｎ＋１）－１ｎ＋１ ． １１．用数学归纳法证明：槡 槡１×２＋ ２×３＋… ＋ ｎ（ｎ＋１槡 ）＜ （ｎ＋１）２ ２ ． １２．用数学归纳法证明：４２ｎ＋１＋３ｎ＋２（ｎ∈Ｎ＋）能 被１３整除． １３．用数学归纳法证明：对任意正整数 ｎ，４ｎ＋ １５ｎ－１能被９整除． １４．在教材中，我们已研究出如下结论：平面内 ｎ条直线最多可将平面分成１２ｎ ２＋１２ｎ＋１个 部分．现探究：空间内ｎ个平面最多可将空 间分成多少个部分，ｎ∈Ｎ． 设空间内ｎ个平面最多可将空间分成ｆ（ｎ）＝ ａｎ３＋ｂｎ２＋ｃｎ＋１个部分． （１）求ａ，ｂ，ｃ的值； （２）用数学归纳法证明此结论                                     ． 垫考考案 =1-山+n-2少，所以85①设a,的公比为，由题意 {6,的通项公式6.=2-1 3 知：a(1+g)=6,ag=ag. (2)由(1)可知46.=n·2”,S =1-(1+3n)(-2) 又4。>0，解得：4=2,9=2， =2,nn+D=n(m+1),所以 2 34.(1)设等差数列1a.的公差为d, 所以a。=2. c。=(-l)°(a.b.+nS。)=n 等比数列6，的公比为由已 (2)由题意知： 31（2+1》+l.(2n (-2)°+(-1)[In+n(m+1)] 知6+b3=12,得b,(g+g)= 记数列1(-1)a.b,/的前n项和 12,而6，=2，所以4+9-6= +1)bn1,又Sm1=bb+1,bn 为A.,数列1(-1)lnS.{的前n 0.又因为9>0，解得g=2.所 ≠0，所以6，=2n+1,令c,= 以，b。=2 项和为B。,则A.=1·(-2)'+ 由b=a4-2a,可得3d-41=8 2·(-2)2+3·(-2)3+…+n ①.由S: