专题4 数列的递推与通项公式 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

! " # $% & ■■ １１　 ■ !" ４ # $%&,-./012 ! ?"#$%? ! 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 １．已知数列 ａ{ }ｎ 的前ｎ项和为 Ｓｎ，且 Ｓ１＋ Ｓ２ ２＋ Ｓ３ ３＋…＋ Ｓｎ ｎ＝ １ ２ｎ ２＋１２ｎ．求数列 ａ{ }ｎ 的通项 公式． ２．已知数列 ａ{ }ｎ 满足 ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋… ＋ｎａｎ＝ （ｎ－１）２ｎ＋１＋２（ｎ∈Ｎ）．求数列 ａ{ }ｎ 的通项 公式． ３．数列 ａ{ }ｎ 中，ａ１＝１，对所有的 ｎ≥２都有 ａ１ａ２ａ３…ａｎ＝ｎ ２，求ａｎ． ４．已知数列 ａ{ }ｎ 的前 ｎ项和为 Ｓｎ，ａ２＝３，且 ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２（ｎ∈Ｎ）． （１）求证：数列 ａ{ }ｎ 是从第二项开始的等比 数列； （２）求数列 ａ{ }ｎ 的通项公式． ５．已知数列 ａ{ }ｎ 的前 ｎ项和为 Ｓｎ，ａ１ ＝ａ， ３ａｎ＋１＋５Ｓｎ＝１０（ｎ∈Ｎ），其中ａ∈Ｒ ＋． 判断数列 ａ{ }ｎ 是否为等比数列，并说明理由． ６．已知数列 ａ{ }ｎ 满足 ａ１ ＝２，ａｎ＋１ －ａｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１），求ａｎ的值                             ． ■ １２　 ■  ７．在正项数列 ａ{ }ｎ 中，Ｓｎ为其前 ｎ项和，且 Ｓ ２ ｎ －（ｎ２＋ｎ－１）Ｓｎ－（ｎ ２＋ｎ）＝０，求通项公 式ａｎ． ８．已知数列 ａ{ }ｎ 满足：ａ１＝１０，ａ２＝５，ａｎ－ ａｎ＋２＝２．求数列 ａ{ }ｎ 的通项公式． ９．（２０２２·乌兰察布一模）数列 ａ{ }ｎ 满足 ａ１＝１ 且对任意 ｋ∈Ｎ，ａ２ｋ＋１＝ａ２ｋ＋１，ａ２ｋ＝ａ２ｋ－１ ＋２，则ａ２０２０＝ （　　） 　　　　 　 　　　　　　Ａ．３０２７ Ｂ．３０３０ Ｃ．２０１８ Ｄ．２０２０ １０．（２０２３·高三模拟）已知数列 ａ{ }ｎ 的前ｎ项和 为 Ｓｎ，且 ａ１ ＝１，ａｎ＋１ ＋ａｎ ＝２ｎ＋ １（ｎ∈Ｎ＋），求数列 ａ{ }ｎ 的通项公式． １１．数列 ａ{ }ｎ 满足 ａ１＝０，ａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ，求数 列 ａ{ }ｎ 的通项公式． １２．已知ａｎ＋１＋ａｎ＝４ｎ－３，ａ１＝２，求 ａ{ }ｎ 的通 项公式． １３．（２０２２·乌兰察布一模理）数列 ａ{ }ｎ 满足 ａ１ ＝１且对任意 ｋ∈Ｎ，ａ２ｋ＋１＝ａ２ｋ＋１，ａ２ｋ＝ ２ａ２ｋ－１，则ａ２０２０＝ （　　） Ａ．２１０１１ Ｂ．２１０１１－２ Ｃ．２１０１０ Ｄ．２１０１０－２ １４．在数列 ａ{ }ｎ 中，ａ１ ＝１，ａｎ·ａｎ＋１ ＝３ ｎ， 求ａｎ． １５．已知正项数列 ａ{ }ｎ 的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓｎ＋１ ＋Ｓｎ＝ａ ２ ｎ＋１，数列 ｂ{ }ｎ 满足 ｂｎ·ｂｎ＋１＝３ ａｎ． ｂ１＝１，求数列 ａ{ }ｎ ， ｂ{ }ｎ 的通项公式． １６．（２０２３·永春县期末）斐波那契数列又称黄 金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子 数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下 定义：用ａｎ表示斐波那契数列的第ｎ项，则 数列｛ａｎ｝满足：ａ１＝ａ２＝１，ａｎ＋２＝ａｎ＋１＋ａｎ                                     ， ! " # $% & ■■ １３　 ■ 记∑ ｎ ｉ＝１ ａｉ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ，则下列结论正确的 是 （　　） Ａ．ａ９＝３４ Ｂ．３ａｎ＝ａｎ－２＋ａｎ＋２（ｎ≥３） Ｃ．∑ ２０２１ ｉ＝１ ａ２ｉ＝ａ２０２１·ａ２０２２ Ｄ．∑ ２０１９ ｉ＝１ ａｉ＝ａ２０２１ １７．（２０２３·江岸区期末）意大利著名数学家斐 波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这 样的一列数：１，１，２，３，５，８，１３，２１， …．该数列的特点如下：前两个数均为 １， 从第三个数起，每一个数都等于它前面两个 数的和．人们把这样的一列数组成的数列 ｛ａｎ｝称为斐波那契数列，现将｛ａｎ｝中的各 项除以２所得的余数按原来的顺序构成的数 列记为｛ｂｎ｝，数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ， 数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和为 Ｔｎ，下列说法正确 的是 （　　） Ａ．Ｔ２０２２＝１３４８ Ｂ．若Ｔｎ＝２０２２，则ｎ＝３０３３ Ｃ．Ｓ１０００＝ａ１００２－１ Ｄ．ａ２１＋ａ ２ ２＋ａ ２ ３＋…＋ａ ２ ５００＝ａ５００ａ５０１ １８．（浙江省杭州市第二中学滨江校区 ２０２１－ ２０２２学年高三上学期期中数学试题）已知数 列 ａ{ }ｎ 满足ａｎ＋１＝ｅ ａｎ－２＋１（ｎ∈Ｎ，ｅ为自然