12.2 第3课时 三角形的内角与外角的关系-【拔尖特训】2023-2024学年七年级下册数学（苏科版）

第3课时 三角形的内角与外角的关系 ▶ “答案与解析”见P53 1. 如图,∠A、∠1、∠2的大小关系是 ( ) A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A>∠2>∠1 D. ∠2>∠A>∠1 (第1题) (第2题) 2. 如图,AD 是∠CAE 的平分线,∠B=35°, ∠DAE=60°,则∠ACD 的度数为 ( ) A. 25° B. 60° C. 85° D. 95° 3. (2023·杭州)如图,点D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上,且DE∥BC,点F 在线段 BC 的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF= 118°,则∠A 的度数为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,AD、BE 分别是△ABC 的高和角平分 线,∠BAC=80°,∠C=60°,则∠AOB 的度 数为 . 5. 如图,在△ABC 中,∠B=25°,∠BAC=31°, 过点A 作边BC 上的高,交BC 的延长线于 点D,CE 平分∠ACD,交AD 于点E.求: (1) ∠ACD 的度数. (2) ∠AEC 的度数. (第5题) 6. (2023·青岛)如图,直线a∥b,∠1=63°, ∠B=45°,则∠2的度数为 ( ) A. 105° B. 108° C. 117° D. 135° (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,CD、BE 分别是边AB、 AC 上的高,且CD、BE 交于点P.若∠A= 60°,则∠BPC 的度数为 ( ) A. 90° B. 120° C. 150° D. 160° 8. 如图,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分 线,交 BA 的延长线于点E.若∠BAC= 100°,∠B=42°,则∠E 的度数为 ( ) A. 27° B. 28° C. 29° D. 30° (第8题) (第9题) 9. 如图,直线m∥n,直角三角形ABC(∠C= 90°)的顶点A 在直线n 上.若∠β=43°,则 ∠α的度数为 . 10. 如图,在△ABC 中,∠B=47°,三角形的外 角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E,则 ∠E 的度数为 . (第10题) (第11题) 11. 如图,∠ACD 是△ABC 的一个外角,CE 平 分∠ACD,F 为CA 的延长线上的一点, FG∥EC,交AB 于点G.若∠1=70°,∠2= 30°,则∠3的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 711 第12章　证　明 12. 如图①,在△ABC 中,∠B=∠C=45°,点 D 在边BC 上,点E 在边AC 上,连接AD、 DE,∠ADE=∠AED. (1) 当∠BAD=60°时,求∠CDE 的度数. (2) 当点D 在边BC(点B、C 除外)上运动 时,试猜想∠BAD 与∠CDE 之间的数量关 系,并说明理由. (3) 如图②,若∠B=∠C,但∠C≠45°,其 他条件不变,试探究∠BAD 与∠CDE 之间 的数量关系. (第12题) 答案讲解 13. 定义:在一个三角形中,如果有一 个角是另一个角的2倍,那么我们 称这两个角互为“开心角”,这个三 角形叫做“开心三角形”.例如:在△ABC 中,∠A=70°,∠B=35°,则∠A 与∠B 互 为“开心角”,△ABC 为“开心三角形”. (1) 若△ABC 为“开心三角形”,∠A= 144°,则这个三角形中最小的内角的度数为 . (2) 若△ABC 为“开心三角形”,∠A=70°, 则这个三角形中最小的内角的度数为 . (3) 已知△ABC 为“开心三角形”,∠A 是 最小的内角,并且是其中的一个“开心角”, 求∠A 的取值范围. (4) 如图,AD 平分△ABC 的内角∠BAC, 交BC 于点E,CD 平分△ABC 的外角 ∠BCF,延长BA 和DC 交于点P,已知 ∠P=30°.若△ABE 为“开心三角形”, ∠BAE是其中的一个“开心角”,设∠BAE= ∠α,求∠α的度数. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 811 数学(苏科版)七年级下 ∵ ∠FNH=∠ENP, ∴ ∠EMG=∠ENP. ∴ MG∥NH. (第4题) 5. C [解析]由∠BAD=∠ADC,不 能判定AD∥BC,故①不符合题意. ∵ ∠DAC=∠BCA,∴ AD∥BC.故 ②符合题意.∵ ∠ABD=∠CDB, ∴ AB∥DC.故 ③ 不 符 合 题 意. ∵ ∠ADC+∠BCD=180°,∴ AD∥ BC.故④符合题意.综上所述,能使 AD∥BC的是②④. 6. 5 [解析]∵ AB∥CD∥EF, ∴ ∠AOE= ∠BAC = ∠ACD. ∵ AC 平 分 ∠BAD,∴ ∠DAC= ∠BAC.∵ BC∥AD,∴ ∠DAC= ∠ACB. ∵ ∠AOE = ∠COF, ∴ ∠AOE= ∠BAC = ∠ACD = ∠DAC= ∠ACB = ∠COF.∴ 与 ∠AOE 相等的角(除∠AOE)有5个. 7. 对顶角相等 两直线平行,同位角 相等 12 等 量 代 换 ∠3= 1 2∠EGB 8. (1) ∵ DE∥AB, ∴ ∠A=∠2. ∵ ∠1+∠2=180°, ∴ ∠1+∠A=180°. ∴ DF∥AC. (2) ∵ DE∥AB,∠1=100°, ∴ ∠FDE=180°-100°=80°. ∵ DF 平分∠BDE, ∴ ∠FDB=∠FDE=80°. ∵ DF∥AC, ∴ ∠C=∠FDB=80°. 9. (1) ① ∠B + ∠E =180°; ∠B=∠E. 理由:如题图①,∵ EF∥BC, ∴ ∠DPB=∠E. ∵ DE∥AB, ∴ ∠B+∠DPB=180°. ∴ ∠B+∠E=180°. 如题图②,∵ EF∥BC, ∴ ∠DPC=∠E. ∵ DE∥AB, ∴ ∠B=∠DPC. ∴ ∠B=∠E. ② 如果两个角的两边互相平行,那么 这两个角相等或互补. (2) 设这两个角的度数分别为x 和 2x-30°. 由题意,得x=2x-30°或x+2x- 30°=180°,解得x=30°或x=70°. ∴ 2x-30°=30°或110°. ∴ 这两个角的度 数 为30°、30°或 70°、110°. 画出符合题意的图形感受 分类讨论的数学思想 解决这类图形不确定问题时通 常先根据问题中的条件,将图形中 的点或线动起来,再画出符合题意 的图形,最后根据图形的相关性质、 条件进行推理或判断,得出结论.这 类问题往往渗透分类讨论的数学 思想. 第3课时 三角形的内角 与外角的关系 1. B 2. D 3. 90° 4. 110° 5. (1) ∵ ∠ACD=∠B+∠BAC, ∠B=25°,∠BAC=31°, ∴ ∠ACD=25°+31°=56°. (2) ∵ AD⊥BD, ∴ ∠D=90°. ∵ ∠ACD=56°,CE 平分∠ACD, ∴ ∠ECD=12∠ACD=28°. ∴ ∠AEC=∠ECD+∠D=28°+ 90°=118°. 6. B [解析]∵ 直线a∥b,∠1=63°, ∴ ∠DCB=∠1=63°.又∵ ∠B= 45°,∴ ∠2=∠DCB+∠B=63°+ 45°=108°. 7. B [解析]∵ ∠A=60°,BE⊥ AC,∴ ∠BEC=90°.∴ ∠ABE= 90°-60°=30°.又 ∵ CD⊥AB, ∴ ∠BDP = 90°. ∴ ∠BPC= ∠BDP+∠ABE=120°. 8. C [解析]∵ ∠B=42°,∠BAC= 100°,∴ ∠ACD=∠B+∠BAC= 142°.∵ CE平分∠ACD,∴ ∠ACE= 1 2∠ACD=71°.∵ ∠BAC=∠E+ ∠ACE, ∴ ∠E = ∠BAC - ∠ACE=29°. 9. 47° [解析]如图,延长AC交直线 m 于点D,设BC 交直线m 于点O. ∵ 直 线 m∥n,∴ ∠β= ∠ODC. ∵ ∠α与∠DOC是对顶角,∴ ∠α= ∠DOC.又 ∵ ∠ACB = ∠COD + ∠ODC=90°,∴ ∠α+ ∠β=90°. ∵ ∠β=43°,∴ ∠α=90°-∠β= 90°-43°=47°. (第9题) 10. 66.5° [解析]∵ 三角形的外角 ∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, ∴ ∠CAE=12∠DAC= 1 2 (∠B+ ∠ACB),∠ACE = 12∠ACF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 1 2 (∠B+ ∠BAC).∴ ∠CAE + ∠ACE = 12 (∠B+ ∠ACB )+ 1 2 (∠B+ ∠BAC)= 12 (∠B + ∠ACB + ∠B + ∠BAC ) = 1 2× (180°+47°)=113.5°.∴ 在 △ACE 中,∠E=180°-(∠CAE+ ∠ACE)=180°-113.5°=66.5°. 11. 40° [解析]∵ CE 平分∠ACD, ∴ ∠1= ∠ECF.∵ FG ∥EC, ∴ ∠F=∠ECF.∵ ∠FCD=∠3+ ∠BAC,∠BAC = ∠2 + ∠F, ∴ ∠FCD= ∠3 + ∠2 + ∠F. ∴ ∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F. ∴ ∠3=∠1-∠2.又∵ ∠1=70°, ∠2=30°,∴ ∠3=70°-30°=40°. 12. (1) ∵ ∠ADC 是△ABD 的外 角,∠BAD=60°,∠B=45°, ∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=105°. ∵ ∠B=∠C=45°, ∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=90°. ∵ ∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°, ∴ ∠ADE=∠AED=75°. ∴ ∠CDE = ∠ADC - ∠ADE = 105°-75°=30°. (2) ∠BAD=2∠CDE. 理由:∵ ∠B=∠C=45°, ∴ ∠BAC=90°. 设∠BAD=x. ∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=x+45°, ∠DAE = ∠BAC - ∠BAD = 90°-x. ∴ ∠ADE=∠AED=90°+x2 . ∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=x+ 45°-90°+x2 = 1 2x. ∴ ∠BAD=2∠CDE. (3) 设∠BAD=t. ∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+ t,∠DAE = ∠BAC - ∠BAD = 180°-2∠C-t. ∵ 易得∠ADE=∠AED=∠C+ ∠CDE,∠B=∠C, ∴ ∠ADC- ∠CDE= ∠B+t- ∠CDE=∠B+∠CDE. ∴ ∠CDE=12t. ∴ ∠BAD=2∠CDE. 13. (1) 12°. [解析]设最小的内角 的度数为y.∵ △ABC 为“开心三角 形”,∠A=144°,∴ 易知y+2y= 180°-144°.∴ y=12°.∴ 这个三角 形中最小的内角的度数为12°. (2) 35°或 1103 °. [解析]不妨设 ∠C为最小角.当∠A 与∠C互为“开 心角”时,则最小角的度数为35°.当 ∠B 与∠C 互为“开心角”时,设最小 角∠C的度数为z.∴ z+2z=180°- 70°.∴ z= 1103 °.综上所述,这个三 角形中最小的内角的度数为35°或 110 3 °. (3) ∵ ∠A 是最小的内角,并且是其 中的一个“开心角”, ∴ 另一个“开心角”是2∠A. ∴ 第三个内角是180°-3∠A. ∵ ∠A 是最小的内角, ∴ ∠A ≤180°-3∠A,且 ∠A < 2∠A. ∴ 0°<∠A≤45°. (4) ∵ AD 平 分 △ABC 的 内 角 ∠BAC, ∴ ∠CAE=∠BAE=∠α. ∴ ∠PAC=180°-2∠α. 设∠PCA=x. ∵ CD 平分△ABC的外角∠BCF, ∴ ∠BCD=∠DCF=x. ∴ ∠ACB=180°-2x. ∵ ∠P=30°, ∴ ∠PAC+∠PCA=150°,即180°- 2∠α+x=150°. ∴ x=2∠α-30°. ∴ ∠AEB=∠α+180°-2x=240°- 3∠α. ∴ ∠B =180°- ∠α- (240°- 3∠α)=2∠α-60°. ① 当∠BAE 与∠B 互为“开心角” 时,∠BAE= 12 ∠B 或 ∠BAE= 2∠B, ∴ ∠α=12 (2∠α-60°),无解,不合 题 意;∠α=2(2∠α-60°),解 得 ∠α=40°. ② 当∠BAE 与∠AEB 互为“开心 角”时,∠BAE = 12 ∠AEB 或 ∠BAE=2∠AEB, ∵ ∠AEB = ∠EAC + ∠ACE, ∠EAC=∠BAE, ∴ ∠BAE=2∠AEB 舍去. ∴ ∠α= 12 (240°-3∠α),解 得 ∠α=48°. 综上所述,∠α的度数为40°或48°. 专题特训十一　平行线与三角 形内角和、外角的综合应用 1. C [解析]如图,∵ ∠B=90°, ∠C=25°,∴ ∠BAC=90°-25°= 65°.∵ ∠1=75°,∴ ∠GAC=180°- 65°-75°=40°.∵ 直 线 a∥b, ∴ ∠2=∠GAC=40°. (第1题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45