12.2 第1～2课时 说理&与平行线有关的证明-【拔尖特训】2023-2024学年七年级下册数学（苏科版）

12.2　证　明 第1课时 说 理 ▶ “答案与解析”见P52 1. 下列推理中,正确的是 ( ) A. ∵ a<b,∴ a+2<b+1 B. ∵ a<b,∴ a-1<b-2 C. ∵ a>b,∴ a+c>b+c D. ∵ a>b,∴ a+c>b-d 2. 如图,AB 是圆O 的直径,把AB 分成几条相 等的线段,分别以每条线段为直径画小圆.设 AB=a,则圆O 的周长L=πa.如图①,把 AB 分成2条相等的线段,每个小圆的周长 L2= 1 2πa= 1 2L. (1) 如图②,把AB 分成3条相等的线段,每 个小圆的周长L3= . (2) 把AB 分成4条相等的线段,每个小圆 的周长L4= . (3) 如图 ,把AB 分成n条相等的线段,每 个小圆的周长Ln= . (4) 如果把大圆的直径分成n 条相等的线 段,分别以每条线段为直径画小圆,那么每个 小圆的周长是大圆周长的 . (5) 请仿照上面的探索方法和步骤,计算推 导出每个小圆面积与大圆面积的关系. (第2题) 3. ★甲、乙、丙、丁四人的车的颜色不同,分别为 白色、银色、蓝色和红色中的一种.在问到他 们各自车的颜色时,甲说:“乙的车不是白色 的.”乙说:“丙的车是红色的.”丙说:“丁的车 不是蓝色的.”丁说:“甲、乙、丙三人中有一人 的车是红色的,而且只有这个人说的是实 话.”如果丁说的是实话,那么下列说法中,正 确的是 ( ) A. 甲的车是白色的,乙的车是银色的 B. 乙的车是蓝色的,丙的车是红色的 C. 丙的车是白色的,丁的车是蓝色的 D. 丁的车是银色的,甲的车是红色的 4. 小敏中午放学回家自己煮面条吃.有下列几 道工序:① 洗锅盛水2min;② 洗菜3min; ③ 准备面条及佐料2min;④ 用锅把水烧开 7min;⑤ 用烧开的水煮面条和菜3min.以上 各道工序,除④外,一次只能进行一道工序. 小敏要将面条煮好,最少需要 min. 5. 一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯,每次 都按下其中的2个开关,最后 (填 “能”或“不能”)将3盏电灯都开亮. 答案讲解 6. 某校组织全校教师进行乒乓球比 赛,评委甲、乙、丙对较有实力的A、 B、C、D四位教师的排名情况做出预 测:甲:“A第一,B第三.”乙:“C第一,D第 四.”丙:“D第二,A第三.”比赛结束后,三位 评委都只猜对一半.A、B、C、D四位教师的排 名到底如何呢? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 411 数学(苏科版)七年级下 第2课时 与平行线有关的证明 ▶ “答案与解析”见P52 1. 如图,下列结论中,正确的是 ( ) A. 若∠1=∠4,则m∥c B. 若∠1=∠2,则a∥b C. 若∠1+∠3=180°,则n∥c D. 若∠2+∠3=180°,则m∥n (第1题) (第2题) 2. 如图,有下列推理:① ∵ ∠B=∠BEF, ∴ AB∥EF;② ∵ ∠B=∠CDE,∴ AB∥ CD;③ ∵ ∠DCE+∠AEF=180°,∴ AB∥ EF;④ ∵ ∠A+∠AEF=180°,∴ AB∥ EF.其中,正确的是 ( ) A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 3. (1) 如图①,填空: ∵ ∠1=60°,∠2=60°(已知), ∴ ∥ ( ). (2) 如图②,填空: ∵ ∠A+∠D=180°(已知), ∴ ∥ ( ). ∴ ∠1= ( ). ∵ ∠1=65°(已知), ∴ ∠C= (等量代换). (第3题) 4. 如图,直线EF 分别交直线AB、CD 于点M、 N,AB∥CD.有 下 列 信 息:① MG 平 分 ∠EMB;② NH 平分∠CNF;③ MG∥NH. 从中选择两个作为补充条件,剩下的作为结 论组成一个真命题,并加以证明. 你选择 作为补充条件, 作 为结论(填序号). (第4题) 5. 如图,给出下列四个条件:① ∠BAD= ∠ADC;② ∠DAC=∠BCA;③ ∠ABD= ∠CDB;④ ∠ADC+∠BCD=180°.其中, 能使AD∥BC 的是 ( ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③④ (第5题) (第6题) 答案讲解 6. 如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC 平分∠BAD 且与EF 交于点O,则 与∠AOE 相等的角(除∠AOE)有 个. 7. 数学老师提出这样一个问题: 如图,直线AB∥CD,直线EF 与直线AB 交 于点G,与直线CD 交于点H,且GN 平分 ∠EGB.求证:∠3=12∠1. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 511 第12章　证　明 下面是某同学给出的一种证法,请你将证明 中缺少的条件、结论或证明理由补充完整. 证明:∵ CD 与EF 相交于点H(已知), ∴ ∠1=∠2( ). ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠2=∠EGB( ). ∵ GN 平分∠EGB(已知), ∴ ∠3= ∠EGB(角平分线的定义). ∵ ∠1=∠2,∠2=∠EGB(已证), ∴ ∠1=∠EGB( ). ∵ (已证), ∴ ∠3=12∠1 (等量代换). 8. 如图,点D、E、F 分别在△ABC 的三条边 上,且DE∥AB,∠1+∠2=180°. (1) 求证:DF∥AC. (2) 若∠1=100°,DF 平分∠BDE,求∠C 的 度数. (第8题) 9. ★ 已知∠B,画一个角∠E,使得DE∥AB, EF∥BC,且DE 交BC 于点P.试探究∠B 与∠E 之间有怎样的数量关系. (1) 我们发现∠B 与∠E 之间有两种位置关 系,如图①②所示. ① 如图①,∠B 与∠E 之间的数量关系为 ;如图②,∠B 与∠E 之间的数量 关系为 .请选择其中一种情况说 明理由. ② 由①,可得一个真命题(用文字叙述): . (2) 运用②中的真命题,解决问题: 若两个角的两边互相平行,且一个角的度数 比另一个角度数的2倍少30°,求这两个角的 度数. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 611 数学(苏科版)七年级下 线,那么这两条直线互相平行. (6) 如果一些角是直角,那么它们都 相等. 15. ①②④ [解析]① 若a+3>b+ 3,则a>b,原变形正确,故①正确. ② 若 a 1+c2> b 1+c2 ,则a>b,原变形 正确,故②正确.③ 若a>b,则ac> bc,这里必须满足c>0,原变形不一 定正确,故③错误.④ 若a>b,则a+ 3>b+2,原变形正确,故④正确.综上 所述,是真命题的为①②④. 16. 答案不唯一,如选②③作为条件, ①作为结论. 如果 AB ∥DE,BC ∥EF,那 么 ∠B=∠E. 理由:因为AB∥DE, 所以∠B=∠DOC. 因为BC∥EF, 所以∠E=∠DOC. 所以∠B=∠E. 12.2　证　明 第1课时 说 理 1. C 2. (1) 1 3L. (2) 1 4L. (3) 1 nL. (4) 1 n. (5) ∵ AB=a. ∴ 圆O 的面积S=π· 12a 2 = 1 4πa 2. 把AB 分成2条相等的线段,每个小 圆的面积S2=π· 1 2 ·1 2a 2 = 1 16πa 2=14S= 1 22S. 把AB 分成3条相等的线段,每个小 圆的面积是S3=π· 1 2 ·1 3a 2 = 1 36πa 2=19S= 1 32S …… 把AB 分成n条相等的线段,每个小 圆的面积Sn=π· 1 2 ·1 na 2 = 1 4n2πa 2=1n2S. ∴ Sn S= 1 n2S S = 1 n2. ∴ 每个小圆的面积是大圆面积的1 n2. 3. C [解析]假设乙的车是红色的, ∴ 乙说的是实话.∴ 丙的车也是红 色,和乙的车是红色的矛盾.假设丙的 车是红色,∴ 丙说的是实话,乙说的 也是实话,与只有一个人说的是实话 矛盾.∴ 甲的车是红色的,且甲说的 是实话.∴ 丙说的不是实话.∵ 丙认 为丁的车不是蓝色的,∴ 丁的车是蓝 色的.∴ 乙和丙的车一个是白色的, 一个是银色的.∵ 甲认为乙的车不是 白色的,且甲说的是实话,∴ 丙的车 是白色的,乙的车是银色的.∴ 甲的 车是红色的,乙的车是银色的,丙的车 是白色的,丁的车是蓝色的. 运用假设法进行说理、推理 在说理、推理的过程中,常常先 假设某种情况是正确的,并以此为 条件进行推理,得出相关结论,如本 题中假设乙的车是红色的等. 4. 12 [解析]第一步:洗锅盛水 2min;第二步:用锅把水烧开7min, 同时洗菜3min,准备面条及佐料 2min,共花费7min;第三步:用烧开 的水煮面条和菜3min.总计共用2+ 7+3=12(min). 5. 不能 [解析]∵ 一个黑暗的房间 里有3盏关着的电灯,每次都按下其 中的2个开关,∴ 第一次按下后有 2盏电灯亮着,有1盏电灯不亮,这样 再继续按下2个开关,不论怎样一定 会至少有1盏电灯不亮.∴ 最后不能 将3盏电灯都开亮. 6. 假设甲说的A第一错误,B第三 正确. 由丙的话可知,A第三错误,D第二正 确,则乙说的D第四错误,C第一正 确,与题意相符. 假设甲说的A第一正确,则乙说的C 第一错误,D第四正确,丙说的D第 二错误,A第三也错误,不符合题意. 综上所述,C第一,D第二,B第三,A 第四. 第2课时 与平行线有关的证明 1. C 2. B 3. (1) a b 内错角相 等,两直线平行 (2) AB DC 同 旁内角互补,两直线平行 ∠C 两 直线平行,内错角相等 65° 4. 答案不唯一,如①②;③. 如图,设直线HN 交AB 于点P. ∵ AB∥CD, ∴ ∠EMB=∠DNE. ∵ ∠DNE=∠CNF, ∴ ∠EMB=∠CNF. ∵ MG 平 分 ∠EMB,NH 平 分 ∠CNF, ∴ ∠EMG=12∠EMB ,∠FNH= 1 2∠CNF. ∴ ∠EMG=∠FNH. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 ∵ ∠FNH=∠ENP, ∴ ∠EMG=∠ENP. ∴ MG∥NH. (第4题) 5. C [解析]由∠BAD=∠ADC,不 能判定AD∥BC,故①不符合题意. ∵ ∠DAC=∠BCA,∴ AD∥BC.故 ②符合题意.∵ ∠ABD=∠CDB, ∴ AB∥DC.故 ③ 不 符 合 题 意. ∵ ∠ADC+∠BCD=180°,∴ AD∥ BC.故④符合题意.综上所述,能使 AD∥BC的是②④. 6. 5 [解析]∵ AB∥CD∥EF, ∴ ∠AOE= ∠BAC = ∠ACD. ∵ AC 平 分 ∠BAD,∴ ∠DAC= ∠BAC.∵ BC∥AD,∴ ∠DAC= ∠ACB. ∵ ∠AOE = ∠COF, ∴ ∠AOE= ∠BAC = ∠ACD = ∠DAC= ∠ACB = ∠COF.∴ 与 ∠AOE 相等的角(除∠AOE)有5个. 7. 对顶角相等 两直线平行,同位角 相等 12 等 量 代 换 ∠3= 1 2∠EGB 8. (1) ∵ DE∥AB, ∴ ∠A=∠2. ∵ ∠1+∠2=180°, ∴ ∠1+∠A=180°. ∴ DF∥AC. (2) ∵ DE∥AB,∠1=100°, ∴ ∠FDE=180°-100°=80°. ∵ DF 平分∠BDE, ∴ ∠FDB=∠FDE=80°. ∵ DF∥AC, ∴ ∠C=∠FDB=80°. 9. (1) ① ∠B + ∠E =180°; ∠B=∠E. 理由:如题图①,∵ EF∥BC, ∴ ∠DPB=∠E. ∵ DE∥AB, ∴ ∠B+∠DPB=180°. ∴ ∠B+∠E=180°. 如题图②,∵ EF∥BC, ∴ ∠DPC=∠E. ∵ DE∥AB, ∴ ∠B=∠DPC. ∴ ∠B=∠E. ② 如果两个角的两边互相平行,那么 这两个角相等或互补. (2) 设这两个角的度数分别为x 和 2x-30°. 由题意,得x=2x-30°或x+2x- 30°=180°,解得x=30°或x=70°. ∴ 2x-30°=30°或110°. ∴ 这两个角的度 数 为30°、30°或 70°、110°. 画出符合题意的图形感受 分类讨论的数学思想 解决这类图形不确定问题时通 常先根据问题中的条件,将图形中 的点或线动起来,再画出符合题意 的图形,最后根据图形的相关性质、 条件进行推理或判断,得出结论.这 类问题往往渗透分类讨论的数学 思想. 第3课时 三角形的内角 与外角的关系 1. B 2. D 3. 90° 4. 110° 5. (1) ∵ ∠ACD=∠B+∠BAC, ∠B=25°,∠BAC=31°, ∴ ∠ACD=25°+31°=56°. (2) ∵ AD⊥BD, ∴ ∠D=90°. ∵ ∠ACD=56°,CE 平分∠ACD, ∴ ∠ECD=12∠ACD=28°. ∴ ∠AEC=∠ECD+∠D=28°+ 90°=118°. 6. B [解析]∵ 直线a∥b,∠1=63°, ∴ ∠DCB=∠1=63°.又∵ ∠B= 45°,∴ ∠2=∠DCB+∠B=63°+ 45°=108°. 7. B [解析]∵ ∠A=60°,BE⊥ AC,∴ ∠BEC=90°.∴ ∠ABE= 90°-60°=30°.又 ∵ CD⊥AB, ∴ ∠BDP = 90°. ∴ ∠BPC= ∠BDP+∠ABE=120°. 8. C [解析]∵ ∠B=42°,∠BAC= 100°,∴ ∠ACD=∠B+∠BAC= 142°.∵ CE平分∠ACD,∴ ∠ACE= 1 2∠ACD=71°.∵ ∠BAC=∠E+ ∠ACE, ∴ ∠E = ∠BAC - ∠ACE=29°. 9. 47° [解析]如图,延长AC交直线 m 于点D,设BC 交直线m 于点O. ∵ 直 线 m∥n,∴ ∠β= ∠ODC. ∵ ∠α与∠DOC是对顶角,∴ ∠α= ∠DOC.又 ∵ ∠ACB = ∠COD + ∠ODC=90°,∴ ∠α+ ∠β=90°. ∵ ∠β=43°,∴ ∠α=90°-∠β= 90°-43°=47°. (第9题) 10. 66.5° [解析]∵ 三角形的外角 ∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, ∴ ∠CAE=12∠DAC= 1 2 (∠B+ ∠ACB),∠ACE = 12∠ACF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35