10.3 第3课时 旋转对称图形-【拔尖特训】2023-2024学年七年级下册数学（华东师大版）

第3课时 旋转对称图形 ▶ “答案与解析”见P46 1. 下列四个交通标志图中,属于旋转对称图形 的是 ( ) A. B. C. D. 2. 旋转如图所示的“雪花图案”,旋转后要与原 图形重合,至少需要旋转 ( ) A. 180° B. 120° C. 90° D. 60° (第2题) (第3题) 3. 如图所示的图案可以看成由一个基本图形(其 中的一个花瓣)绕中心至少经过 次 旋转得到的,每一次旋转的度数为 . 4. 如图所示的图形中,哪些是旋转对称图形? 若是,则旋转多少度后能与自身重合? (第4题) 5. 在如图所示的图形中,是旋转对称图形的有 ( ) (第5题) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案讲解 6. 下列图案绕中心旋转一定的角度 后,都能和原来的图案重合,其中有 一个图案与其余三个图案至少旋转 的角度不同,它是 ( ) A. B. C. D. 7. 如图,正方形ABCD 与正方形EFGH 的边 长相等.有下列说法:① 这个图案可以看成 是由正方形ABCD 绕点O 旋转45°前、后的 图形共同组成的;② 这个图案可以看成是由 △ABC 绕点O 分别旋转45°,90°,135°,180° 前、后的图形共同组成的;③ 这个图案可以 看成是由△BOC 绕点O 分别旋转45°,90°, 135°,180°,225°,270°前、后的图形共同组成 的.其中,正确的是 (填序号). (第7题) (第8题) 答案讲解 8. 如图所示的图案由三个叶片组成, 绕点O 旋转120°后可以和自身重 合.如果每个叶片的面积为4cm2, ∠AOB 为120°,那么图中涂色部分的面积之 和为 cm2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 99 第10章　轴对称、平移与旋转 9. 在如图所示的网格图中有一个四边形和两个 三角形. (1) 请你把图补充成旋转对称图形. (2) 将(1)中所画的与原图形看成一个整体 图形,这个图形是轴对称图形吗? 若是,请写 出这个整体图形的对称轴的条数.这个整体 图形至少旋转多少度后才能与自身重合? (第9题) 10. ★如图所示的风车图案是一个旋转对称图 形,该图案绕点O 旋转90°,180°都能与自身 重合,四边形EFGH 是正方形,且∠B= 2∠BEF,则 ∠A 的 度 数 为 , ∠AHG 的度数为 . (第10题) 11. 如图,正方形ABCD 的边长为2,以各边中 心为圆心,1为半径依次作四分之一圆,将 正方形分成四个部分. (1) 这个图形 旋转对称图形 (填“是”或“不是”);若是,则旋转中心是 点 ,最小旋转角的度数是 . (2) 求图形OBC 的周长和面积. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 001 数学(华师版)七年级下 点B 按顺时针方向旋转后与△DBE 重合,点A,C 的对应点分别是D, E.∴ ∠ABC=∠DBE,∠C=∠E, AB=DB,AC=DE.∴ BC 平 分 ∠ABE.故选项A,B,D都正确,不符 合题意.由于∠E 与∠CBE 不一定相 等,∴ ∠C与∠CBE 不一定相等,即 无法判定AC 与BE 平行.故选项C 不一定正确,符合题意. 6. B [解析]∵ ∠B=30°,∠C= 90°,∴ ∠CAB=180°-∠B-∠C= 60°.∵ 将△ABC绕顶点A按顺时针方 向旋转得到△AB'C',∴ ∠C'AB'= ∠CAB=60°.∵ 点B'恰好落在CA 的延 长 线 上,∴ ∠BAC'=180°- ∠CAB-∠C'AB'=60°. 7. C [解析]由△ABC 绕点O 按顺 时针 方 向 旋 转 可 知,旋 转 角 是 ∠AOA',故 选 项 B 正 确,不 合 题 意.根据旋转的性质,得OA=OA',故 选项A正确,不合题意.由旋转的性 质和作图,得选项C错误,符合题意, 选项D正确,不合题意. 8. B [解析]由旋转的性质可知,对 应点到旋转中心的距离相等.借助网 格可以发现,题图中给出的点中,只有 点B 符合题意. 9. 50° [解析]∵ 将△AOB 绕点O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 75°得 到 △A1OB1,∴ ∠A1OB1=∠AOB= 55°,∠AOA1=75°.∴ ∠A1OD = 180°-55°-75°=50°.∵ 直线a∥b, ∴ ∠1=∠A1OD=50°. 10. 根据旋转的特征,可得涂色部分 的面积等于大圆面积的1 4. ∴ 涂 色 部 分 的 面 积 为 1 4 ×π× 4 2 2 =π(cm2). 11. (1) ∵ 将△ABC 绕点B 按顺时 针方向旋转得到△EBD, ∴ ∠ABC=∠EBD. ∴ 易得∠ABE=∠CBD. ∵ BC平分∠EBD, ∴ ∠EBC=∠CBD. ∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC. 又∵ ∠CBD+∠ABE+∠EBC= 180°, ∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC=60°. (2) ∵ ∠APB=∠PBC+∠C= 60°+∠C,∠A=∠CBD-∠C= 60°-∠C, ∴ ∠APB>∠A. 12. (1) 如图,四边形AB1C1D1 即为 所求. (2) 四边形AB1C1D1 的面积为3× 4-12×1×3- 1 2×1×3=9. (第12题) 13. AE=BD,AE⊥BD. 理由:∵ ∠ACD=∠BCE=90°, ∴ ∠ACD + ∠DCE = ∠BCE + ∠DCE,即∠ACE=∠DCB. 又∵ AC=DC,EC=BC, ∴ △ACE 绕点C按顺时针方向旋转 90°可得到△DCB. ∴ AE=BD,∠CAE=∠CDB. 如图,设AE 与BD 交于点F. ∵ ∠CAD+∠CDA=90°, ∴ ∠CAD - ∠CAE + ∠CDA + ∠CDB=90°,即∠FAD+∠FDA= 90°. ∴ ∠AFD=90°,即AE⊥BD. 综上所述,AE=BD,AE⊥BD. (第13题) 第3课时 旋转对称图形 1. D 2. D 3. 4 72° 4. 题图①是旋转对称图形,绕中间小 圆的圆心旋转72°或144°或216°或 288°后能与自身重合. 题图②是旋转对称图形,绕图形的中 心旋转90°或180°或270°后能与自身 重合. 题图③不是旋转对称图形. 题图④是旋转对称图形,绕圆的圆心 旋转45°或90°或135°或180°或225° 或270°或315°后能与自身重合. 5. C [解析]从左边数第1,2,3个图 形是旋转对称图形,第4个图形不是 旋转对称图形.∴ 是旋转对称图形的 有3个. 6. D [解析]选项A,B,C中的图案 都至少绕旋转中心旋转60°后会与自 身重合,而选项D中的图案至少绕旋 转中心旋转45°就会与自身重合. 7. ①②③ 8. 4 [解析]由题图可知,涂色部分 的面积之和等于一个叶片的面积, ∴ 涂色部分的面积之和为4cm2. 9. (1) 如图所示. (2) 是轴对称图形,对称轴的条数为 4,这个整体图形至少旋转90°后才能 与自身重合. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 10. 30° 105° [解析]由四边形 EFGH 是正方形,易得∠EHG=90°, ∠EFH=45°,∠EHG=90°.由三角 形外角的性质,可得∠EFH=∠B+ ∠BEF.设 ∠BEF =x,则 ∠B = 2x.∴ x+2x=45°,解得x=15°. ∴ ∠BEF=15°,∠B=30°.根据旋转 的性 质 可 知,∠B 与 ∠A 是 对 应 角.∴ ∠A=30°.同理,可得∠AHE= ∠BEF=15°.∴ ∠AHG=∠AHE+ ∠EHG=15°+90°=105°. 求解与旋转对称图形有关的 角的度数的方法 旋转对称图形可以看成由一个 或几个基本图形经过旋转得到的, 故在求解与旋转对称图形有关的角 的度数的问题时,应充分考虑到旋 转的特征,由旋转过程找出相等的 角.此外,在有三角形的图形中求角 的度数时,还应充分考虑“三角形的 内角和为180°”“三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和” 等性质的应用. 11. (1) 是;O;90°. (2) 图形OBC 的周长=BC+12× 2π=2+π,面积= 14S正方形ABCD = 1 4×2×2=1. 10.4　中心对称 1. D 2. C 3. = EF DF 4. 如图所示. (第4题) 5. C [解析]选项A,C中的图案是 中心对称图形;选项B,C,D中的图案 是轴对称图形,故选项C符合题意. 6. C [解析]观察题中甲、乙两图,题 图乙中选项C的图案在绕点O 旋转 180°后,不能与题图甲中的相应图案 重合,因此题图乙中不符合题意的一 块是选项C的图案. 7. A [解析]观察可以发现题图①与 题图②完全相同,说明旋转的那张扑 克牌上的图案是中心对称图形,选项 A(方块5)符合题意. 8. 关 于 旋 转 中 心 成 中 心 对 称 [解析]∵ n1°+n2°+n3°=180°,∴ 将 △ABC 绕其中一个顶点按顺时针方 向连 续 旋 转n1°,n2°,n3°,就 是 将 △ABC 绕其中一个顶点按顺时针方 向旋转180°.∴ 得到的三角形和 △ABC关于这个点,即旋转中心成中 心对称. 9. 2 [解析]如图,连结AC.∵ 曲线 OA 与曲线OC 关于点O 成中心对 称,∴ AC经过点O,曲线OC 与线段 OC围成的图形绕点O 旋转180°后能 与曲线OA 与线段OA 围成的图形重 合,则AB,BC,曲线CO,曲线OA 围 成的图形的面积=直角三角形ABC 的面积=12×2×2=2 (cm2). (第9题) 10. 如图,连结AE,CD 相交于点O, 点O 就是对称中心. 长度相等的线段:AC=ED,BC= FD,AB=EF. 相等 的 角:∠B = ∠F,∠BAC = ∠FED,∠ACB=∠EDF. (第10题) 11. 答案不唯一,如(1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (3) 如图③所示. (第11题) 12. 3 [解析]如图,再把一个小正方 形涂色,使四个涂色的小正方形构成 的图案是中心对称图形,则不同的涂 法有3种. (第12题) 13. (1) 如图,延长AD 至点A',使 A'D=AD,连结A'B,则△A'BD 就 是与△ACD 关于点D 成中心对称的 三角形. (2) 根据成中心对称的图形的特征, 得A'B=AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74