专题19空间中直线、平面的垂直（7知识点+4题型） -2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题19：空间中直线、平面的垂直（7知识点+4题型） 空间中直线、平面的垂直 平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直的定义 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的定义 题型四：面面垂直的证明 题型三：线线垂直的证明 题型二：线面垂直的证明 题型一：线面垂直关系的判断 线与线、线与面、平面与平面垂直的方法总结 知识点一：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 知识点二：直线与平面垂直的判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 证明线面垂直的方法： 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 知识点三：直线与平面垂直的性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点四：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点五：平面与平面垂直的判定（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 知识点六：平面与平面垂直的性质（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 知识点七：线与线、线与面、平面与平面垂直的方法总结 线线线面面面 （1）证明线线垂直的方法 ①几何体的特征；例如：直棱柱、长方体等； ②平面图形的特征：例如：菱形对角线互相垂直，直径所对的圆周角是直角等； ③等腰三角形或者等边三角形底边上的中线是高； ④线面垂直的性质；； ⑤向量的数量积为零； ⑥勾股定理逆定理； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 题型一：线面垂直关系的判断 解题思路：此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 例1．已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 例2．已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式训练 3．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）设这两个平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）已知是空间中三条不同的直线，是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或. D．若，则， 6．（多选）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型二：线面垂直的证明 解题思路：方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 例1．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面. 例2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 例3．如图所示多面体中，四边形和四边形均为正方形，棱，． (1)求证：平面； (2)求该几何体的体积和表面积． 变式训练 4．如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面.