2024年浙江省新中考靶向复习之实际衍生问题培优

靶向复习 浙江新中考靶向复习之实际衍生问题培优 1. 【背景信息】为了保持室内空气的清新，某仓库的换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气，通风口为△FMN（阴影部分均不通风），点F为AB的中点，MN是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． 设窗子的边框AB，AD分别为a m，b m，窗子的高度（即点E到AB的距离）为h m． 【初步探究】 （1）若a＝4，b＝2，h＝4． ①MN与AB之间的距离为l m，求此时△FMN的面积； ②MN与AB之间的距离为x m，试将通风口的面积，y（m2）表示成关于x（m）的函数； 【拓展提升】 （2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时，通风口面积达到最大值，h需要满足的条件是 　 　，通风口的最大面积是 　 　m2（用含a，b，h的代数式表示）． 2. 小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下： x/m 0 2 4 6 … y/m 1.8 3 3.4 3 … 请你解决以下问题： （1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）若小昊在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由； （3）第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？ 3. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　 　，直接写出满足的函数关系式：　 　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 4. 阅读材料：在17世纪初，法国数学家笛卡尔为了将代数和几何相结合，他提出了一种新的工具即平面直角坐标系，通过坐标系，笛卡尔发现可以用方程来表示图形的数量关系，也可以使得抽象的方程用几何图形形象的表示出来，为数学的发展奠定了新的里程碑． 例如：图1中是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降1米时，水面宽是多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系就可以求出抛物线的解析式，为了方便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（图2），设该抛物线的解析式为y＝ax2，由已知的抛物线过点（2，﹣2），代入解析式求出a＝﹣0.5，抛物线解析式为y＝﹣0.5x2，当水面下降1米时，水面纵坐标为﹣3，把y＝﹣3代入解析式，求得x＝±，此时水面宽为2米． 请你类比阅读材料中的数学思想尝试建立平面直角坐标系解答下列问题： 如图3，某校选拔铅球运动员准备参加区运动会，第一轮学校定的男生入围标准为不低于9米，一名男生A推铅球，铅球运动的轨迹是一条抛物线，已知出手点距离地面米，铅球运行轨迹的最高点到地面距离3米且到该男生A的水平距离为4