专题04 四边形（7大热点题型）-2024年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题04 四边形（7大热点题型） 目录 热点题型归纳 1 题型01 菱形的判定与性质 1 题型02 矩形的判定与性质 5 题型03 正方形的性质 10 题型04 梯形 18 题型05 直角梯形 22 题型06 平面向量 29 题型07 四边形综合题 37 中考练场 59 题型01菱形的判定与性质 【解题策略】 1．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 2．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【典例分析】 【例1】．（2023•静安区二模）如图，已知、分别是平行四边形的边、上的高，对角线、相交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，时，求的余切值． 【变式演练】 1．（2023•长宁区二模）如图，在菱形中，对角线与交于点，已知，，如果点是边的中点，那么　　． 2．（2023•奉贤区二模）如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是 　 　． 题型02 矩形的判定与性质 【解题策略】 1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【典例分析】 【例2】．（2023•嘉定区二模）如图，已知、分别是和它的邻补角的角平分线，，垂足为点，，联结，分别交、于点、． （1）求证：四边形是矩形； （2）试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式演练】 1．（2023•青浦区一模）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，点、在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为 　　． 题型03 正方形的性质 【解题策略】 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【典例分析】 【例3】．（2023•松江区二模）如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）联结，求正弦值． 【变式演练】 1．（2023•黄浦区二模）七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线；分别取、中点、，联结；过点作垂线，分别交、于、两点；分别取、中点、，联结、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形的面积是 　　平方厘米． 2．（2023•长宁区一模）如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，联结，如果正方形的面积为12，且，那么的值为 　　． 3．（2023•奉贤区二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，．将沿直线翻折，如果点的对应