2024年浙江省新中考靶向复习之函数综合练习

靶向复习 浙江新中考靶向复习之函数综合培优 1. 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB＝x米，E是AB边上的动点．连接CE，DE，设△ECD的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮ABCD上分割出△EFG，用来填充不同材质的产品，已知AB＝6，BC＝4，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AE＝2CF，CG＝2，设CF＝x，△EFG的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的位置，H是CG上的一点，连接FH，当四边形EFHG的面积为时，求GH的长． 2. 如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m． （1）求如图2所示抛物线的解析式． （2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用（p，0）表示．（仅考虑y轴右侧的情况）． ①求p的取值范围； ②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值 　 　． 3. 塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成（如图2），矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点E坐标为（0，8），其横截面有三根支架EF，GH，MN（三根支架均垂直于地面BC），且 BH＝HF＝FN＝NC． （1）求此抛物线对应的二次函数关系式； （2）已知大棚共有支架300根（EF，GH，MN各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后AE′D仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到E'（如图3）．若增加的支架（GG'，EE'，MM'）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度EE'的最大值． 4. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）． 结合上面信息，回答问题： （1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为 　 　，下垂电缆的抛物线表达式为 　 　． （2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 5. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为10dm3，底面为正方形的长方体包装盒（如图1），当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为x dm，表面积为y dm2．可以用含x的代数式表示长方体的高为，根据长方体的表面积公式：长方体表面积＝2×底面积+侧面积．得到y与x的关系式：　 　（0＜x≤3）； （2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位） x/dm … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/dm2 … 80.5 42.0 31.2 　 　 28.5 31.3 （3）在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数