专题10.2 事件的相互独立性【六大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题10.2 事件的相互独立性【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 独立事件的判断】 2 【题型2 相互独立事件的概率】 3 【题型3 相互独立事件与互斥事件】 3 【题型4 独立事件的实际应用】 4 【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 5 【题型6 独立事件与其他知识综合】 7 【知识点1 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【题型1 独立事件的判断】 【例1】（22-23高一下·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 【变式1-1】（2024·海南省直辖县级单位·一模）若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高三上·湖北十堰·期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式1-3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【题型2 相互独立事件的概率】 【例2】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·重庆·开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事