3.2.2 奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义(难点). 2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点). 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点). 学习目标 问题1:剪纸是中国的传统民间艺术,图案漂亮却很复杂,怎样剪省时省力? 轴对称和中心对称 新课导入 问题2:哪些函数图像也具有类似的对称性? f(x)=x2 , f(x)=x f(x)=x3 + x 的图像具有对称性吗? 新课导入 问题3:如何研究函数的对称性? 上一节我们用符号语言精确地描述了函数图象 在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质,即单调性. 图形特征—上升(或下降) 数量特征—函数值随自变量的增大而增大(或减小) 符号语言— 类 比 知识探究 探究:观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? 思考1:能否用数量特征(自变量和函数值的关系)更准确地刻画函数图象的这个特征呢? 知识探究 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x g(x)=2-|x| x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x 9 4 1 0 1 4 9 g(x)=2-|x| -1 0 1 2 1 0 -1 思考2:不妨取自变量的一些特殊值,观察相应函数值的情况,发现有何数量特征? 可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等. 对于函数f(x)=x ,有 对于函数g(x)=2-|x| ,有 知识探究 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x 9 4 1 0 1 4 9 g(x)=2-|x| -1 0 1 2 1 0 -1 思考3:表格中列出的点具有上述性质,那么未列出的点是否也具有相同的性质呢?如f(-1.7)= f(1.7)吗?该性质是否具有一般性? 几何证明(图象): f(-x)= f(x). 动画演示 知识探究 代数证明(解析式): f(-x)= f(x). 你能用符号语言来概括偶函数的定义吗? 知识探究 例如,函数 ,都是偶函数,它们的图象分别如图所示: 图象特征:偶函数的图象关于y轴对称. 偶函数的定义 知识探究 自主探究: 观察函数f(x)=x和函数 的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?你能用符号语言精确地描述这一特征吗? 可以发现,两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 知识探究 不妨取自变量的一些特殊值,观察相应函数值的情况. 可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也互为相反数. 几何证明(图象): f(-x)= -f(x). 知识探究 代数证明(解析式): 你能用符号语言来概括奇函数的定义吗? 知识探究 奇函数如果在x=0处有定义,则图象必过原点,即f(0)=0. 奇函数的定义 根据定义,x=0∈I, -x=0∈I,且 f(0)=-f(0),即f(0)=0. 1.奇函数必过原点. ( ) 2.偶函数如果在x=0处有定义,则图象必过原点.( ) 图象特征:奇函数的图象关于原点对称. 知识探究 1.思辨解析,判断下列说法是否正确. (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. ( ) (2)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数. ( ) 当堂检测 理解定义 问题1: 奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意”几个字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?能不能改为“存在”? 说明函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质,而函数的单调性是定义域内某个区间上的局部性质.任意不能改为存在. 知识探究 问题2:-x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征? 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称. 1.思辨解析,判断下列说法是否正确. (3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数. ( ) 知识探究 归纳小结 知识探究 已知 f(x) 是偶函数,g(x)是奇函数,是将下图补充完整. 解:补充后的图象如图所示 当堂检测 B 当堂检测 解: (1)函数f(x)=x4的定义域为R. 所以,函数f(x)=x4为偶函数. 例1: 判断下列函数的奇偶性. (3) f(x)=0, x∈R (4) 知识探究 (2)函数 的定义域为{x|x≠0}. 所以,函数 为奇函数. (3)函数的定义域为R. f(-x)=f(x), 且f(-x)=-f(x), 所以,该函数既是奇函数又是偶函数. (4)因为定义域不关于原点对称,所以,该函数是非奇非偶函数. 既是奇函数又是偶函数的函数: (1)定义域关于原点对称; (2)表达式为 f(x)=0. 知识探究 规律总结 1.用定义判断函数奇偶性的步骤: (1) 先求定义域,看是否关于原点对称(前提条件); (2) 再判断