专题9.2 解分式方程的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题9.2 解分式方程的综合 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、分式方程 1．分式方程：分母中含有未知数的方程。 2．分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。 3．分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程； ②解整式方程； ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程； ④作答。 · 典例分析 【典例1】已知，关于的分式方程． （1）当，时，求分式方程的解； （2）当时，求为何值时，分式方程无解； （3）若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【思路点拨】 （1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【解题过程】 （1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知关于的分式方程，对于该方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数，则；乙：当时，方程的解是正数．关于甲、乙两人的说法，正确的是（    ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 3．（22-23八年级下·四川遂宁·阶段练习）若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（    ） A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16 4．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 5．（2022八年级上·全国·专题练习）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．12 C．6 D．4 6．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 7．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 11．（23-24八年级上·全国·课时练习）解关于的分式方程？ 12．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程：． 14．（2024八年级·全国·竞赛）解方程组 15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的方程：，若方程的解为整数，求整数的值． 16．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． （1）若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ （2）若是