5.3.1简单的轴对称图形(4)——角平分线的性质 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

角的轴对称性 【知识导航】 1.角的对称性 角是轴对称图形，_________________所在的直线是它的对称轴. 2.角平分线性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离____________. 符号语言： ∵OP平分∠AOB，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E ∴PD=PE 注意：①角的对称轴是角平分线所在的直线；②用角平分线的性质定理时，三个条件缺一不可.在书写过程时，要把三个条件都罗列出来. 3.角平分线判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE ∴OP平分∠AOB 拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的___________，并且三角形的内心到三条边的距离相等. 4.用尺规作角平分线 【典例探究】 题型一、角平分线的性质 例1如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 例2 如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. （1） 求∠EDA的度数； （2） AB=10，AC=8，DE=3，求△ABC的面积. 【跟踪训练】 1.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论中错误的是（ ） A.DE=DF B. C. D.∠ADE=∠ADF 2.（1）在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，∠1=∠2.若BC=10，BD=6，则点D到AB边的距离为_________； （2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.下列结论：AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有___________________.（填序号） 题型二、角平分线的判定 例3.如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.试说明：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF. 【跟踪训练】 3.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点E，连接AE.已知∠BEC=40°，则∠CAE=_________. 4.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.试说明：点F在∠DAE的平分线上. 题型三、用尺规作角平分线 例4 如图，已知在△ABC中，∠B=2∠C. （1）请用基本的尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点D，在AC上取一点，使得AB=AE，连接DE；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，探究线段AB，AC，BD之间的数量关系.小明遇到这个问题时，给出了如下的解题思路。请根据小明的思路完成下面的填空. 解：AC=AB+BD.理由如下： ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=____________ 在△ABD与△AED中 ∴△ABD≌△ED（SAS） ∴∠B=∠AED，___________=ED ∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C ∴∠EDC=___________ ∴ED=EC ∴EC=__________ ∵AC=AE+EC ∴AC=AB+BD 5.观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线是（ ） 6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 【课时作业】 第一阶 基础夯实 1.下列图形中，一定是轴对称图形的有（ ） ①线段；②角；③三角形；④圆 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺的顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是（ ） A.SAS B.ASA C.AA D.SSS 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（ ） A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=