课时作业17数学归纳法练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时作业17 数学归纳法 基础达标练 题组一 数学归纳法的概念 1. 用数学归纳法证明等式 ，验证 时，等号的左边是 ( ) A. 1 B. C. D. 2. [2023河北邢台高二月考]已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证( ) A. 时不等式成立 B. 时不等式成立 C. 时不等式成立 D. 时不等式成立 3. （多选题）已知一个命题 ， ，若当 ，2， ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( ) A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立 C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立 4. (多选题)已知如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下列结论正确的是( ) A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立 B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立 C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立 D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立 5. [2023江苏高二专题练习]用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应将 变形为( ) A. B. C. D. 6. 已知平面上有个点，其中任何三点都不共线，过这些点中的任意两点作直线，设这样的直线共有条，则 ， . 题组二 数学归纳法的应用 7. 用数学归纳法证明： . 8. 证明：当 时， 能被64整除. 9. 用数学归纳法证明：. 题组三 “归纳—猜想—证明”问题 10. 若数列满足 , ,则 ,归纳猜想 . 11. 设正项数列 的首项为4，满足 . （1） 求 ， ，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； （2） 用数学归纳法证明你的猜想. 素养提升练 12. 如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来的 ，则第 个图形中共有 个顶点. 13. [2023江苏苏州高二期中] 能被哪些自然数整除？先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想. 创新拓展练 14. 设 ， ， . （1） 当 ,2,3,4时，试比较 与1的大小； （2） 根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明. 参考答案 基础达标 题组一 数学归纳法的概念 1. 用数学归纳法证明等式 ，验证 时，等号的左边是 ( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】等号左边的数是从1加到 . 当 时， ，故此时等号的左边的数为从1加到4. 2. [2023河北邢台高二月考]已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证( ) A. 时不等式成立 B. 时不等式成立 C. 时不等式成立 D. 时不等式成立 【答案】B 【解析】若已假设 （ ，且 为偶数）时命题为真，且 只能取偶数，则还需要证明 时不等式成立.故选 . 3. （多选题）已知一个命题 ， ，若当 ，2， ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( ) A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立 C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立 【答案】AD 【解析】由题意知 对 ，4，6， ， 成立， 当 取其他值时，不能确定 是否成立，故选 . 4. (多选题)已知如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下列结论正确的是( ) A. 若 对 成立，则 对所有正整数都成立 B. 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立 C. 若 对 成立，则 对所有正奇数都成立 D. 若 对 成立，则 对所有自然数都成立 【答案】BC 【解析】由题意可知，若 对 成立，则 对所有正奇数都成立； 若 对 成立，则 对所有正偶数都成立.故选 . 5. [2023江苏高二专题练习]用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应将 变形为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】假设 时命题成立，即 能被3整除． 当 时， . 6. 已知平面上有个点，其中任何三点都不共线，过这些点中的任意两点作直线，设这样的直线共有条，则 ， . 【答案】10 ; 【解析】由题意得当 时，有 条直线. 当 时，增加的第 个点与原 个点共连成 条直线，即增加 条直线， 所以 ,即 ，易知 ， 所以 ， . 题组二 数学归纳法的应用 7. 用数学归纳法证明： . 证明 ①当 时，左边 右边，即当 时，原不等式成立， ②假设当 时，原不等式成立，即 ， 则当 时， ， 即当 时，不等式成立， 综上，原不等式对所有的 都成立. 8. 证明：当 时， 能