课时作业16数列的综合应用练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时作业16 数列的综合应用 基础达标练 1. 已知等差数列 的公差为2，若 , , 成等比数列，则 等于( ) A. 2 B. 1 C. D. 2. “太极生两仪，两仪生四象”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过 次二分形成 卦，则 ( ) A. 120 B. 122 C. 124 D. 128 3. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 021这2 021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( ) A. 58 B. 59 C. 60 D. 61 4. （多选题）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下列说法正确的是( ) A. B. C. 当 或 时， 取得最大值 D. 当 时， 的最大值为20 5. [2023湖北黄冈高二月考]大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第21项是( ) A. 200 B. 210 C. 220 D. 242 6. 设各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ， ，且 是 与 的等比中项，则数列 的公差 为 ． 7. 已知等比数列 的前 项和 ，且 ,9, 成等差数列，则 的值为 . 8. 在 ， ； ， ； ， 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并作答. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 ，求数列 ， 的通项公式. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 9. [2023山东菏泽一中高二月考]已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， , , . （1） 若 ，求 的通项公式； （2） 若 ，求 . 10. 设数列 是等比数列，其前 项和为 . （1） 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列 的通项公式； ； ， . （2） 在（1）的条件下，若 ，求数列 的前 项和 . 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 素养提升练 11. （多选题）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：用 表示斐波那契数列的第 项，则数列 满足 ， ，记 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 12. 已知等差数列 的公差 ，且满足 , , 成等比数列，若 ， 是数列 的前 项和，则 的最小值为 13. 已知数列的前项和为 ，数列的前项和为 ，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立，， . 14. [2023福建龙岩第一中学高二月考]甲、乙两同学在复习数列时发现原来做过的一道数列题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是 ， ， 成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，那么请你通过推理把条件补充完整并解答此题. 等比数列 的前 项和为 ，已知 . （1） 判断 ， ， 的关系； （2） 若 ， ，记数列 的前 项和为 ，证明： . 15. 我国南宋时期的数学家杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． （1） 把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15， ，写出 与 的递推关系，并求出数列 的通项公式； （2） 设 , ，求数列 的前 项和 . 16. 已知数列 的前 项和为 ， . 在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． ； ； . 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． （1）求数列的通项公式； （2）记 ，是数列的前项和，若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围． 创新拓展练 17. 黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究