巧用公因数（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

五年级下册教材 巧用公因数 知识导航 几个数共有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大数叫做这几个数的最大公因数。自然数a,b的最大公因数可以记作（ a,b）如果（a,b）=1时，则a .可以用短除法求出几个数的最大公因数。 【精典例题1】 例1：把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸裁成相同的正方形纸片（纸没有剩余），至少能裁成多少片？ 思路导航：把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸裁成相同的正方形纸片没有剩余，那么裁成的小正方形纸片的边长应该是12厘米和8厘米的公因数，因为要求至少裁成多少片，所以小正方形的边长应该是12厘米和8厘米的最大公因数，12厘米和8厘米的最大公因数是2×2=4，所以裁成的小正方形纸片的边长是4厘米。 沿着长方形的长可以裁成：（片） 沿着长方形的宽可以裁成：8（片） 这张长方形纸一共可以裁成：(片) 答：至少能裁成6片。 小试身手 1. 一个长方形木块，长是2.7分米，宽是1.8分米，高是1.5分米。要把它锯成大小相等的小正方体木块，不许有剩余，小正方体木块的棱长最大是多少分米？ 2.一张长方形纸，长是32分米，宽是12分米，要把它裁成面积最大的小正方形纸片，而且不能有剩余，裁成的小正方形纸片的面积是多少平方分米？可以裁成多少片？ 【精典例题2】 例2：将一个长105厘米、宽45厘米、 高30厘米的长方体木料，锯成同样大小的小正方体，如果不计损耗，锯完后木料不许有剩余，锯成的小正方体木块是棱长是大于1厘米的自然数。可以有几种不同的锯法？每种锯法中小正方体的棱长是多少？分别可以锯成多少块？ 思路导航：分析题目中的条件，我们可以知道，锯成的小正方体木料的棱长应该是长方形木料长、宽、高的公因数（除1以外）。 105，45和30除1以外的公因数有5，3和3 因此，可以有三种不同的锯法： 锯成的小正方体木料的棱长是5厘米，可以锯成（105 锯成的小正方体木料的棱长是3厘米可以锯成 （105 锯成的小正方体的棱长是可以锯成 （105 答：可以有三种不同的锯法。锯成的小正方体的棱长是5厘米，可以锯成1134块。锯成的小正方体的棱长是3厘米，可以锯成5250块。锯成的小正方体的棱长是15厘米，可以锯成42块。 小试身手 1、 有一根长方体木料，长是120厘米，宽是40厘米，高是20厘米，如果要把这跟木料锯成棱长是10厘米的小正方体，可以锯成多少块？ 2、 一根长方体木料，长是105厘米，宽是63厘米，高是42厘米，锯成同样大小的小正方体，如果不计损耗，锯完后木料不许有剩余，锯成的小正方体木块的棱长是大于1厘米的自然数，可以有几种不同的锯法？每种锯法中小正方体的棱长是多少？分别可以锯成多少块？ 【精典例题3】 例3： 有三根小棒，分别长12厘米、44厘米、56厘米。要把它们截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？一共可以截成多少根小棒？ 思路导航：这道题实际是求12，44和56的最大公因数，用短除法求出这三个数的最大公因数。 12，44和56的最大公因数是： 因此，每根小棒最长是4厘米。 长12厘米的小棒可以截成3根，长44厘米的小棒可以截成11根，长56厘米的小棒可以截成14根，一共可以截成3+11+14=28（根） 答：要把它们截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长是4厘米，一共可以截成28根小棒。 小试身手 1、 有三根木料，分别长12分米、18分米、24分米，把这三根木料分别截成同样长的小段，每小段木料最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 2、 某市有一个三角形公园，三边长分别为498米、612米、582米。计划每隔若干米植一棵松树，并且每相邻两棵树之间的距离要最远，问：至少要植松树多少棵？ 【精典例题4】 幼儿园阿姨给小朋友分苹果，如果把167个苹果平均分给小朋友，还剩下5个，如果把111个苹果平均分给小朋友，还剩下3个。如果把66个苹果平均分给小朋友，还剩下12个。请你算一算，幼儿园最多有多少个小朋友？ 思路导航：根据题中的条件，如果把167-5=162（个）苹果平均分给小朋友，应该刚好分完，没有剩余。同样，如果把111-3=108（个）苹果平均分给小朋友，也应该刚分完，没有剩余。把66-12=54（个）苹果平均分给小朋友，也应该刚好分完，没有剩余。 这样，幼儿园的小朋友应该是162，108和54的公因数，又因为要求“最多有多少个小朋友，所以就是求162，108和54的最大公因数。162，108和54的最大公因数是54，所以幼儿园最多有54个小朋友。 答：幼儿园最多有54个小朋友。 小试身手 1、 美术老师买了一些铅笔，打算把它们平均分给美术小组的同学们，拿54支铅笔来分，结果余下了3支，拿70支铅笔来分，结果余下了 2支，你能知道这个美术小组有多少个学生吗