7.1.2 复数的几何意义-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 七 章 复数 7.1.2 复数的几何意义 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 4.通过复数的几何意义学习,培养直观想象、数学运算等素养. 教学目标 PART.01 情境导入 情境导入 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 问题提出 平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应． 那么复数的几何意义呢？ PART.02 复数的几何意义----与点一一对应 概念讲解 思考1：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 因为任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定， 并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对， 所以复数与有序数对是一一对应的. 而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 概念讲解 复平面 如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 注意：复数 在复平面内对应点的坐标为 ，而不是 ，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是 . 概念讲解 复数的几何意义——与点对应 由以上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应. 由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。 复数 复平面内的点. 一一对应 这是复数的一种几何意义． 例题剖析 练习：写出如图所示的复平面内各点所表示的复数(每个正方形的边长均为1)． 解：如题图所示，点A的坐标为(4,3)，则点A对应的复数为4＋3i.同理可知点B，C，F，G，H对应的复数分别为3－3i，－3＋2i，－2,5i，－5i. 例题剖析 例1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点，(1)在第二象限；(2)在直线y＝x上．分别求实数m的取值范围． PART.03 复数的几何意义----与向量一一对应 概念讲解 思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ a b z=a＋bi 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定;反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)。 概念讲解 复数的几何意义——与向量对应 因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下的一一对应关系(实数0与零向量对应)，即 复数 平面向量. 一一对应 这是复数的另一种几何意义． a b z=a＋bi 为方便起见，我们常把复数说成点𝑍或说成向量， 并且规定，相等的向量表示同一个复数. 总结归纳 一一对应 一一对应 一一对应 复数 直角坐标系中的点 平面向量 复数的几何意义 例题剖析 PART.04 复数的模 概念讲解 思考3：向量有模长，那么复数呢？ x y O a b Z(, ) z=＋ 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即，其中. 概念讲解 3.复数的模的几何意义：复数 的模 表示复数在平面内对应的点 到原点的距离.类比向量的模可以作推广： 表示点 和点 之间的距离 1.如果那么是一个实数它的模就等于(的绝对值). 点拨 2.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小； 例题剖析 例3.设复数，. (1)在复平面内画出复数，对应的点和向量； (2)求复数，的模，并比较它们的模的大小. 解： (1) 如图，复数，对应的点分别为，， 对应的向量分别为，. (2) 所以 概念讲解 由上例可知，互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数和