7.5 正态分布-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第 七 章 随机变量及其分布 7.5 正态分布 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量； 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点； 3.了解正态分布的均值、方差及其含义； 4.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 教学目标 情景导入 PART.01 情景导入 印在人民币上的数学家 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”． 正态分布 PART.02 问题提出 现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量 , 下面我们看一个具体问题。 概念讲解 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 概念讲解 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示. 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积为和为1 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 概念讲解 由函数知识可知，上图中的钟形曲线是一个函数. 思考1：这个函数是否存在解析式呢? 其中μ∈R，σ>0为参数. 显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. f (x) x μ a x b O 概念讲解 思考2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点? 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (2) 曲线在x=μ处达到峰值 (3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近x轴. 概念讲解 思考2：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 概念讲解 观察两个图象可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.实际上，我们有： 若，则. 思考3： 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? 归纳小结 σ=0.5 0 1 2 -1 -2 x -3 3 x=μ σ=1 σ=2 (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 正态曲线的性质： (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处取得最大值； (5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 概念讲解 1.若X~N(μ，σ2)，则如图(4)所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. (4) 正态曲线下的面积规律： 2.正态曲线下对称区域的面积相等，对应的概率也相等 -x1 -x2 x2 x1  a -a 利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 概念讲解 练习：若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则 (1) P(X>1)=_________； (2) P(X>0)=_________； (3) P(0<X<1)=_______； (4) P(X<2)=_________； (5) P(0<X<2)=_______. 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 0.5 1-a 0.5-a 1-a 1-2a 例题剖析 例1.（多选）某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科成绩的直方图如图所示(由于人数众