第七章 随机变量及其分布（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

章末小结 选修第三册 第七章《随机变量及其分布》 1 知识网络 知识梳理——1.条件概率 知识梳理——1.条件概率 知识梳理——2.概率的乘法公式 由条件概率的定义， 对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B). 该概率公式可推广为P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 知识梳理——3.全概率公式 知识梳理——4.贝叶斯公式(*) 把事件B看作某一过程的结果，把Ai(i＝1,2，…，n)看作该过程的若干个原因，每一原因发生的概率P(Ai)已知，且每一原因对结果的影响程度P(B|Ai)已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式，即求P(Ai|B)．贝叶斯公式反映了事件Ai发生的可能性在各种原因中的比重． 知识梳理——5.离散型随机变量及其分布列 知识梳理——6.两点分布 知识梳理——7.二项分布和超几何分布 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验 n重伯努利试验 将一个伯努利试验独立地重复进行n次 知识梳理——8.正态分布 方法归纳——1.条件概率的性质的运用 利用条件概率的性质进行解题的策略 (1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 方法归纳——2.求离散型随机变量的分布列的步骤 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出每一个取值所对应的概率； (3)列表格． 方法归纳——3.超几何分布的求解步骤 方法归纳——4.超几何分布的求解步骤 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等． 如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5,0.997 3求解． END 定义 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝ 为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 性质 设P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②0≤P(B|A)≤1； ③若事件B和C互斥，则P(B∪C |A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ④设和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(|A)； ⑤若B⊆A，则P(B|A)＝ 求法 如：一袋子中有10个球，设有7个黑球，3个白球，从中依次摸2个球， 求在第一次摸到黑球(A)的条件下，第二次摸到白球(B)的概率. 直接法：P(B|A)＝ 缩小样本空间法：P(B|A)＝ 如：P(B|A)＝＝ 定义法：P(B|A)＝ 如：P(B|A)＝＝ 区分 P(B|A)的样本空间是A；P(AB)的样本空间是Ω P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率； 而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率． 用古典概型公式，则P(B|A)＝，P(AB)＝. 全概率 公式 设事件A1，A2，…，An两两互斥，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， 有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 常用：若事件A1，A2互斥，A1∪A2＝Ω，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) (1)设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝，i＝1，2，…，n. (2)贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率． 随机变量 对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应， 称X为随机变量，随机本来常用字母X，Y，Z，ξ，η等表示. 离散型 随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量 若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量 离散型随机变量的分布列 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn， 则称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,…,n 为X的(概