24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

R·九年级数学上册 第二十四章 圆 第2课时 切线的判定与性质 1.理解并掌握圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否为圆的切线. 2.掌握圆的切线的性质定理，能综合运用切线的判定和性质定理解决问题. 学习目标 情境导入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆心与直线的距离等于该圆的半径时，直线与圆相切. 知识回顾 O l O l d=r 新知探究 知识点1 切线的判定 思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点 A 作直线 l⊥OA. O A l （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？ 圆心O到直线l的距离d=半径r （2）直线l和⊙O有什么位置关系？ 相切 O A l 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ OA是半径，OA⊥l 于A ∴ l是⊙O的切线. 几何符号表达： 1.直线l 经过半径r的外端点A. 2.直线l 垂直于半径r. 注意： r 判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.（ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线. （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直. × × √ √ 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ l 第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l. .O . A 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切. 归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： O A l O A l O A l d r 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：连接OC. ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线. O C A 方法总结：有交点，连半径，证垂直. B 知识点2 切线的性质 将切线判定定理的题设与结论反过来： 思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ l .O A 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. ∵直线l切⊙O于点A， ∴OA⊥l 几何符号表达： 反证法 反证法证明切线的性质 如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA与直线CD垂直. 证明：（1）假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M； （2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾； （3）所以⊙O的半径OA与直线CD垂直. O A B C D M 切线的性质： 1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 归纳总结 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 例1 E 证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∴∠OEC=90°. ∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB. ∴∠ODB=90 ° =∠OEC. ∵AB=AC ,∴∠B=∠C. ∵O是BC的中点， ∴OB=OC . ∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切. 1 C A B O D 方法二： 证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB. 又∵△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点， ∴AO平分∠BAC, ∴OD=OE ，即OE是⊙O半径. ∴AC是⊙O的切线. E 1 C A B O 方法总结：无交点，作垂直，证半径. D 随堂练习 1.如图，已知