24.1.4 圆周角 课件 2023—-2024学年人教版九年级数学上册

圆周角 人教版·九年级上册 1 学习目标 1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2. 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理 解决简单的几何问题.（重点、难点） 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点） 导入新课 1. 圆心角的定义？ 顶点在圆心的角叫圆心角. 2. 把圆心角 ∠AOB 的顶点 O 拉到圆上，得到 ∠ACB. ∠ACB 有什么特点？ ∠ACB 的顶点在圆上 边 AC，BC 都与圆相交 　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 圆心角 圆周角 区别 联系 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都与圆相交 下列图形中的角是圆周角的是（ ） 做一做 圆周角必须满足两个条件： （1）顶点在圆上； （2）两边都与圆相交. C 探 究 分别测量图中 所对的圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 的度数，它们之间有什么关系？ ∠AOB = 120° AB ∠ACB = 60° ∠ACB = ∠AOB 探 究 在 ⊙O 上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ 可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 证 明 在圆上任取 BC，画出圆心角 ∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ 证明 1 ∵ OA = OC， ∴ ∠A = ∠C． 又∵ ∠BOC = ∠A + ∠C， ∠BAC = ∠BOC． 如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵ OA = OB， ∴∠BAD = ∠B． 又∵∠BOD = ∠BAD + ∠B， ∠BAD = ∠BOD. 同理，∠CAD = ∠COD. ∴∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = ∠BOC. 证明 2 证明 3 你会证明吗？ 定理 情况 图示 结论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角的外部 ∠BAC = ∠BOC． 思 考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间有什么关系？ 同弧所对的圆周角相等． 思 考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？ 等弧所对的圆周角相等． 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 符号语言： 如图，∠AC1B = ∠AC2B = ∠AC3B = ∠AOB 思 考 “同弧或等弧所对的圆周角相等”反过来成不成立？ 不成立. 如图，∠APB = ∠CPD， 但 AB ≠ CD . O1 O2 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ 等于 90° 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 符号语言： 如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径，则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径. 思 考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？ 不一定成立，因为一条弦所对的圆周角有两种情况. 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． 例题4 解：连接 OD. 　 ∵　AB 是⊙O 的直径， ∴　ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， ∵　CD 平分ACB， ∴　ACD = BCD， ∴　AOD = BOD ． ∴　AD = BD． 在 Rt△ABD 中， 　 AD2 + BD2 = AB2 ， ∴　AD = BD =　　　　 =　　（cm）． 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆. 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 思 考 如图，连接 OB，OD. ∵∠A 所对的弧为 ， ∠C 所对的弧为 ， 又 和 所对的圆心角 的和是周角， BCD BAD ∴ ∠A + ∠C = = 180°. 同理 ∠B + ∠D = 180°. BCD BA