24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2023-—2024学年人教版九年级数学上册

垂直于弦的直径 人教版·九年级上册 1 新课导入 你能举例说说生活中的轴对称图形吗？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 　 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 动手操作 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 圆的对称轴有几条？ 圆的对称轴有无数条. 每一条直径所在直线都是圆的对称轴. 如何证明？ 已知：在 ⊙O 中，CD 是直径，AA′ 是弦， CD ⊥ AA′，垂足为 M． 证明：连结 OA、OA′. 在 △OAA′ 中， ∵ OA ＝ OA′， ∵△OAA′ 是等腰三角形. 又 AA′ ⊥ CD， ∴AM = MA′. 即 CD 是 AA′ 的垂直平分线，因此 ⊙O 关于直线 CD 对称. 证 明 从上面的证明我们知道，如果⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AA′，垂足为 M，那么点 A 和 A′ 是对称点. 点 A 与点 A′ 重合 AM 与 A′M 重合 与 重合 AC A′C 与 重合 AD A′D 因此，AM = A′M ， = ， AC A′C = . AD A′D 即直径 CD 平分弦 AA′，并且平分 ， . AA′ ACA′ 文字语言 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． CE = DE ， = ， AC AD = BC BD AB 是直径， AB ⊥ CD 文字语言 几何语言 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． AB ⊥ CD ， = ， BC BD = AC AD AB 是直径， CF = DF （CD 不是直径） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 为什么强调这里的弦不是直径？ 圆的直径互相平分，但不一定垂直. 拓 展 对于一个圆和一条直线，如果这条直线满足下列五个条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个: （1）过圆心； （2）垂直于弦； （3）平分弦(非直径）； （4）平分弦所对的优弧； （5）平分弦所对的劣弧. 例 2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥， 距今约 有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m， 求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 R. AB AB 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理，D是 AB 的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高. AB AB 由题设可知 AB = 37，CD = 7.23， 所以 AD = AB = ×37 = 18.5， OD = OC - CD = R - 7.23. 在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2， 即 R2 = 18.52 + (R-7.23)2. 解得 R ≈ 27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m. 随堂练习 【教材P83练习 第1题】 1. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的 距离为 3 cm. 求 ⊙O 的半径. 解：根据题中添加辅助线可知，在 Rt△AOE 中， AO = = = 5（cm）. 则 ⊙O 的半径为 5 cm. 2. 如图，在 ⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD ⊥ AB，OE ⊥ AC，垂足分别为 D， E. 求证：四边形 ADOE 是正方形. 【教材P83练习 第2题】 证明：∵AB ⊥ AC，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC. ∴四边形 ADOE 是矩形. 又∵OD 垂直平分 AB，OE 垂直平分 AC，AB ＝ AC， ∴AE = AC = AB = AD， ∴四边形 ADOE 是正方形. 课堂小结 垂径定理 垂径定理 垂径定理的推论 $$