专题特训五 平行四边形的性质与判定的综合-【拔尖特训】2023-2024学年八年级下册数学（沪科版）

　　　　专题特训五　平行四边形的性质与判定的综合 ▶ “答案与解析”见P30 类型一 证明四边形是平行四边形 1. 如图,在△AFC 中,∠FAC=45°,FE⊥AC 于点E,在EF 上取一点B,连接AB,BC,使 得AB=FC,过点A 作AD⊥AF,且AD= BC,连接CD.求证:四边形ABCD 是平行四 边形. (第1题) 类型二 证明两直线平行 2. 如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 为AD 上一点,连接EB 并延长,使BF=BE,连接 EC 并延长,使CG=CE,连接FG,H 为FG 的中点,连接DH,AF.求证:AF∥HD. (第2题) 类型三 证明角相等 3. 如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是 边BC 上一点,且EF⊥AE.求证:∠DAE= ∠FAE. 小华同学读题后有一个想法,延长FE,AD 交于点M,要证∠DAE=∠FAE,只需证 △AMF 是等腰三角形即可.请你参考小华的 想法,完成此题的证明. (第3题) 类型四 求角的度数 4. 如图,在▱ABCD 中,O 为对角线AC 与BD 的交点,AC⊥AB,E 为AD 的中点,并且 OF⊥BC,∠ADC=53°,求∠FOE 的度数. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 数学(沪科版)八年级下 类型五 证明线段相等 答案讲解 5. 如图,在▱ABCD 中,BC=2AB, ∠DCB 的平分线交BA 的延长线 于点F,交AD 于点E,连接BE. (1) 求证:DE=AE. (2) 若∠DAF=70°,求∠BEA 的度数. (第5题) 类型六 求线段的长 答案讲解 6. 如图,在四边形ABCD 中,BD 垂直 平分AC,垂足为F,E 为四边形 ABCD 外一点,∠ADE=∠BAD, AE⊥AC. (1) 求证:四边形ABDE 是平行四边形. (2) 若DA 平分∠BDE,AB=3,AD=4,求 AC 的长. (第6题) 7. (2023·淮北期中)如图,在△ABC 中,BD 平 分∠ABC,交AC 于点D,且BD⊥AC,点F 在BC 上,E 为AF 的中点,连接BE,ED, DF,且BF=DE. (1) 求证:四边形DEBF 是平行四边形. (2) 若AC=23DE,BD=6,求AB 的长. (第7题) 类型七 相关综合性问题 8. 在等边三角形ABC 中,D,E,F 分别是边 AB,BC,CA 上的动点,满足DE=EF,且 ∠DEF=60°,作点E 关于AC 的对称点G, 连接CG,DG. (1) 当点D,E,F 在如图所示的位置时,请 在图中补全图形,并证明四边形DBCG 是平 行四边形. (2) 当AD<BD,AB= 2DE 时,求∠BDE 的度数. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 第19章　四 边 形 ∴ 四边形ABEC是平行四边形. ∴ F 是BC的中点. 又∵ O 是AC的中点, ∴ OF 是△ABC的中位线. ∴ AB=2OF. 又∵ AB=DC=CE, ∴ DE=2DC=2AB=4OF. 证明线段倍数关系的方法 由三角形的中位线等于三角形 第三边的一半可知,当需要证明某 一线段是另一线段的一半或者两 倍,且题目中出现了中点时,常先证 明这个一半的线段是某个三角形的 中位线,再用三角形中位线定理来 证明. 13. (1) ∵ BD=CD, ∴ ∠1=∠BCD. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠BCD=∠2. ∴ CD∥AB. (2) ∵ CD∥AB, ∴ ∠CDA=∠3. 由(1),知∠1=∠BCD. 又∵ ∠1=∠3, ∴ ∠CDA=∠BCD. ∴ DE=CE. ∵ ∠2=∠3,