专题特训一 构造等腰三角形解题的常用方法-【拔尖特训】2023-2024学年八年级下册数学（北师大版）

　　　　专题特训一　构造等腰三角形解题的常用方法 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 连接线段构造等腰三角形 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点D,E,F 分 别在BC,AB,AC 上,且BD=CF,BE= CD,G 是EF 的中点.求证:DG⊥EF. (第1题) 2. 如图,在等边三角形ABC 中,D 是AC 的中 点,E 是BC 延长线上的一点,且CE=CD, DM⊥BC,垂足为 M.求证:M 是BE 的 中点. (第2题) 类型二 利用垂直平分线的性质构造等腰三角形 3. 如图,在△ABC 中,∠A∶∠B ∶∠C=18∶ 7∶11,D 是BC 的中点,且DE⊥BC 于点 D,交AB 于点E.求证:BE2-AE2=AC2. (第3题) 类型三 作平行线构造等腰三角形 答案讲解 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 在AB 上,点E 在AC 的延长线上, 且BD=CE,DE 交BC 于点F.求 证:DF=EF. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 第一章　三角形的证明 类型四 利用倍角转化法构造等腰三角形 5. 在△ABC 中,∠ACB=2∠B,BC=2AC.求 证:∠A=90°. 类型五 利用“截长补短”法构造等腰三角形 6. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,∠B= 2∠C.求证:AB+BD=CD. (第6题) 答案讲解 7. 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 △ABC 外一点,且∠ABD=60°, ∠ACD=60°.求证:BD+DC=AB. (第7题) 类型六 利用特殊角构造等边三角形 8. 如图,在四边形ABCD 中,AD=4,BC=1, ∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°.求CD 的长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(北师版)八年级下 ∴ ∠BPQ = ∠ABE + ∠BAD = ∠CAD+∠BAD=∠BAE=60°. ∵ BQ⊥AD, ∴ ∠PQB=90°. ∴ ∠PBQ=90°-60°=30°. ∵ PQ=3, ∴ BP=2PQ=6. 又∵ PE=1, ∴ AD=BE=BP+PE=6+1=7. 11. (1) ∵ DC∥AB, ∴ ∠CDB=∠ABD. 又∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠CBD=∠ABD. ∴ ∠CDB=∠CBD. ∴ BC=DC. 又∵ AD=BC, ∴ AD=DC. (2) △DEF 为等边三角形. ∵ BC=DC,CF⊥BD, ∴ F 是BD 的中点. ∴ DF=12BD. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠DBE = 12 ∠ABC = 1 2 × 60°=30°. ∵ DE⊥AB, ∴ ∠DEB=90°. ∴ ∠BDE=60°,DE=12BD=DF. ∴ △DEF 为等边三角形. 12. (1) 如图,过点M 作MQ∥BC,交 AC于点Q. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠A=∠B=∠ACB=60°. ∵ MQ∥BC, ∴ ∠AMQ=∠B=60°,∠AQM= ∠ACB=60°,∠QMP=∠N. ∴ △AMQ 是等边三角形. ∴ AM=QM. ∵ AM=CN, ∴ QM=CN. 在△QMP 和△CNP 中, ∠QPM=∠CPN, ∠QMP=∠N, QM=CN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ △QMP≌△CNP. ∴ MP=NP. (2) ∵ △AMQ 是等边三角形,且 MH⊥AC, ∴ AH=HQ=12AQ. ∵ △QMP≌△CNP, ∴ QP=CP,即QP=12QC. ∴ PH =HQ+QP = 1