1.1 第4课时 等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质-【拔尖特训】2023-2024学年八年级下册数学（北师大版）

第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 ▶ “答案与解析”见P5 1. 下列条件中,不能说明△ABC 为等边三角形 的是 ( ) A. ∠A=∠B=60° B. ∠B+∠C=120° C. ∠B=60°,AB=AC D. ∠A=60°,AB=AC 2. 如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,AB=4, BE 平分∠ABD,AE∥BD 交BE 于点E,则 △ABE 的周长是 . (第2题) (第3题) 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B= 30°,CD 是斜边AB 上的高,AD=3cm,则 BD 的长是 . 4. 如图,在等边三角形 ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD 与BE 相交 于点O.求证:AO=2OD. (第4题) 5. 若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直 于该角所对的边,则这个三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. (2023·深圳期中)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,∠ABC=60°,AB 的垂直平分线 分别交AB 与AC 于点D,E.若CE=1,则 AB 的长是 ( ) A. 3 B. 2 C. 23 D. 4 (第6题) (第7题) 答案讲解 7. 如 图,∠AOB =120°,OP 平 分 ∠AOB,且OP=2.若点M,N 分别 在OA,OB 上,且△PMN 为等边三 角形,则满足上述条件的△PMN 有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 8. 如图,△ABC 是等边三角形,且∠1=∠2= ∠3,则∠D= . (第8题) (第9题) 9. 如图,在等边三角形ABC 中,AD=BD,过 点D 作DF⊥AC 于点F,过点F 作FE⊥ BC 于点E.如果AF=6,那么BE 的长为 . 10. 如图,△ABC 为等边三角形,AE=CD, AD,BE 相交于点P,BQ⊥AD 于点Q, PQ=3,PE=1. (1) 求证:AD=BE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 第一章　三角形的证明 (2) 求AD 的长. (第10题) 11. 如图①,在四边形 ABCD 中,DC∥AB, AD=BC,BD 平分∠ABC. (1) 求证:AD=DC. (2) 如图②,若∠ABC=60°,过点 D 作 DE⊥AB,过点C 作CF⊥BD,垂足分别为 E,F,连接EF.试判断△DEF 的形状,并 证明你的结论. (第11题) 答案讲解 12. 如图,在等边三角形ABC 中,M 为 边AB 上的任意一点,延长BC 至 点N,使CN=AM,连接 MN 交 AC 于点P,过点M 作MH⊥AC 于点H. (1) 求证:MP=NP. (2) 若AB=a,求线段PH 的长(用含a的 代数式表示). (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 数学(北师版)八年级下 又∵ AD⊥BC,CE⊥AB, ∴ 易 知 ∠NCB = ∠BAM =30°, ∠DAC=45°. ∴ ∠ACB=∠DAC. ∴ AD=CD. ∴ △ADC为等腰三角形. ∵ BF 平分∠ABC, ∴ ∠ABM=∠NBC=30°. ∴ ∠ABM=∠BAM. ∴ BM=AM. ∴ △AMB 为等腰三角形. ∵ ∠NBC=∠NCB=30°, ∴ BN=CN. ∴ △BNC为等腰三角形. ∵ AD⊥BC,∠NCB=30°, ∴ ∠MPN=60°. ∵ CE⊥AB,∠ABM=30°, ∴