专题特训三 探究二次函数中的存在性问题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（苏科版）

专题特训三　探究二次函数中的存在性问题 ▶ “答案与解析”见P15 类型一 探究三角形周长最小值的存在性 1. (2023·张家界)如图,在平面直角坐标系中, 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与 x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0),与y 轴 交于点C(0,6),D 为线段BC 上的一动点. (1) 求二次函数的表达式. (2) 如图①,连接AD,OD.求△AOD 的周长 的最小值. (3) 如图②,连接AC,过动点D 作DP∥AC, 交二次函数图像在第一象限内的部分于点 P,连接PA,PB,AD,记△PAD 与△PBD 的面积之和为S.当S取得最大值时,求点P 的坐标,并求出此时S的最大值. (第1题) 类型二 探究等腰三角形的存在性 2. 如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点 A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. (1) 求该抛物线对应的函数表达式. (2) 若M 为该抛物线的对称轴上的一点,P 为该抛物线上的点且在对称轴的左侧,连接 AP,PM,MA.当△AMP 是以M 为直角顶 点的等腰直角三角形时,求符合条件的点M 的坐标. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 数学(苏科版)九年级下 类型三 探究三角形面积关系的存在性 3. 如图,抛物线y=ax2+bx+2与x 轴交于 点A(-1,0),B(4,0),与y 轴交于点C,P 为抛物线上位于BC 上方的一个动点. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 过点P 作PF⊥x轴于点F,交BC 于点 E,连接CP,CF.当S△PCE=2S△CEF 时,求点 P 的坐标. (第3题) 类型四 探究平行四边形的存在性 答案讲解 (第4题) 4. 已知抛物线y=ax2+bx-4交x轴 于点A(4,0)和点B(-2,0),交y 轴于点C. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 如图,P 是抛物线上位于直线AC 下方的 一个动点,过点P 作x 轴的平行线,交直线 AC 于点D,过点P 作y轴的平行线,交x轴 于点E.当PE+PD 取得最大值时,求点P 的坐标及PE+PD 的最大值. (3) 在抛物线上是否存在点M,对于平面内 任意一点N,使得以A,C,M,N 为顶点且 AC 为一条边的四边形为矩形? 若存在,请求 出点M,N 的坐标;若不存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 第5章　二次函数 ∴ t=-m2-2m+3. ∴ m2-2m-3=-m2-2m+3,解得 m=±3. (3) 由(1),知y=x2-2x-3=(x- 1)2-4,当a≤x≤a+1时,二次函数 y=(x-1)2-4的最小值为2a. 分三种情况讨论: ① 若a+1<1,即a<0,则当x=a+ 1时,y取得最小值,此时y=(a+1- 1)2-4=a2-4. ∴ a2-4=2a,解得a=1-5或a= 1+5(不合题意,舍去). ② 若a<1≤a+1,即0≤a<1,则当 x=1时,y取得最小值-4. ∴ -4=2a,解得a=-2(不合题意, 舍去). ③ 若a≥1,则当x=a时,y 取得最 小值,此时y=a2-2a-3. ∴ a2-2a-3=2a,解得a=2+7或 a=2-7(不合题意,舍去). 综上所述,a的值为1-5或2+7. 专题特训三　探究二次函数中的 存在性问题 1. (1) 由题意,可知设二次函数的表 达式为y=a(x+2)(x-6). 将(0,6)代入,得6=a(0+2)×(0- 6),解得a=-12. ∴ 二次函数的表达式为y=- 1 2 (x+ 2)(x-6)=-12x 2+2x+6. (2) 如图,作点O 关于直线BC 的对 称点E,连接EC,EB