专题特训五 二次函数与几何图形的综合——图形面积问题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（华东师大版）

专题特训五　二次函数与几何图形的综合——图形面积问题 ▶ “答案与解析”见P15 类型一 已知两个三角形的面积关系,求点的 坐标 1. 如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于 A、B 两点,与y 轴交于点C,点B 的坐标为 (3,0),抛物线与直线y=- 3 2x+3 交于C、 D 两点,连结BD、AD. (1) 求m 的值. (2) 若抛物线上有一点 P,满足S△ABP= 4S△ABD,求点P 的坐标. (第1题) 答案讲解 2. (2022· 贺州)如图,抛物线y= -x2+bx+c过点A(-1,0)、B(3, 0),与y轴交于点C. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) P 为抛物线的对称轴上一动点,当 △PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时,求 点P 的坐标. (3) 在(2)的条件下,第一象限内的抛物线上 是否存在一点 M,使得S△BCM=S△BCP? 若 存在,求出点M 的横坐标;若不存在,请说明 理由. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 数学(华师版)九年级下 类型二 求几何图形面积的最值 3. ★如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 A、B 两点,与y轴交于点C,点B 和点C 的 坐标分别为(3,0)、(0,-3),抛物线的对称轴 为直线x=1,D 为抛物线的顶点. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) E 为线段BC 上一动点,过点 E 作 x轴的垂线,与抛物线交于点F.连结AC、 CF、BF,求四边形ACFB 的面积的最大值 及此时点E 的坐标. (第3题) 4. (2023·张家界)如图,在平面直角坐标系中, 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x轴交于A(-2,0)和B(6,0)两点,与y 轴 交于点C(0,6),D 为线段BC 上的一动点. (1) 求二次函数的表达式. (2) 如图①,连结AD、OD,求△AOD 的周长 的最小值. (3) 如图②,连结AC,过动点D 作DP∥AC, 交抛物线在第一象限内的部分于点P,连结 AD、PA、PB.记△PAD 与△PBD 的面积 之和为S,当S 取得最大值时,求这个最大 值,并求出此时点P 的坐标. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 第26章　二次函数 5c+d=5, 2c+d=8, 解得 c=-1 , d=10. ∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y=-x+10. 如图②,易得当PA-PB 的值最大 时,点A、B、P 在同一条直线上. 联立 y=-x+10, y=x2-4x, 解得 x1=-2, y1=12, x2=5, y2=5. ∵ 点A 的坐标为(5,5), ∴ 点P 的坐标为(-2,12). 过点A作AQ垂直直线x=2于点Q. ∵ A(5,5)、B(2,8), ∴ BQ=3,AQ=3. ∴ 在Rt△ABQ 中,由勾股定理,得 AB= 32+32=32. ∴ PA-PB=AB=32,即PA- PB 的最大值为32. (第3题) 4. (1) ∵ 抛物线y=x2+bx+c经 过点A(3,0)、B(1,0), ∴ 9+3b+c=0, 1+b+c=0, 解得 b=-4 , c=3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-4x+3. (2) 在y=x2-4x+3中,令x=0,得 y=3, ∴ 点C的坐标为(0,3). ∴ 易得直线AC 对应的函数表达式 为y=-x+3. 设点P 的坐标为(m,m2-4m+3) (0<m<3). ∵ PD∥y轴, ∴ 点D 的坐标为(m,-m+3). ∴ PD=(-m+3)-(m2-4m+ 3)=-m2+3m=- m-32 2 +94. ∵ -1<0,0<m