专题特训四 二次函数与几何图形的综合——线段和(差)的最值问题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（华东师大版）

专题特训四　二次函数与几何图形的综合——线段和(差)的最值问题 ▶ “答案与解析”见P14 类型一 二次函数中的线段和的最值问题 答案讲解 1. 如图,抛物线y=- 1 2x 2+bx+c与 x 轴交于A、B 两点,与y 轴交于 点C,直线y=- 1 2x+2 过B、C 两点. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若M(3,2)是抛物线上的一点,D 为抛物 线上位于直线BC 上方的一点,过点D 作 DE⊥x 轴,交直线BC 于点E,P 为抛物线 的对称轴上一动点.当线段DE 的长最大时, 求PD+PM 的最小值. (第1题) 2. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x 轴交于 A、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y轴交 于点N,过点A 的直线l:y=kx+n(k≠0) 与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c 的另一个交点为D.已知A(-1,0)、D(5, -6),P 为抛物线y=-x2+bx+c上一动 点(不与点A、D 重合). (1) 求抛物线和直线l对应的函数表达式. (2) 当点P 在直线l上方的抛物线上时,过 点P 作PE∥x轴,交直线l于点E,作PF∥ y轴,交直线l 于点F,求PE+PF 的最 大值. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 数学(华师版)九年级下 类型二 二次函数中的线段差的最值问题 3. (2022·常德)如图,抛物线过点O(0,0)、 A(5,5),且它的对称轴为直线x=2. (1) 求此抛物线对应的函数表达式. (2) B 是抛物线的对称轴上一点,且点B 在 第一象限内,若S△OAB=15,求点B 的坐标. (3) 在(2)的条件下,P 是抛物线上的动点, 当PA-PB 的值最大时,求点P 的坐标及 PA-PB 的最大值. (第3题) 4. ★如图,抛 物 线 y=x2+bx+c 经 过 点 A(3,0)、B(1,0),交y轴于点C,P 是该抛物 线上一动点,点P 从点C 沿抛物线向点A 运 动(点P 不与点A 重合),过点P 作PD∥ y轴,交直线AC 于点D. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 在点P 运动的过程中,求线段PD 长的 最大值. (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点M,使 |MA-MC|最大? 若存在,请求出此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 第26章　二次函数 ∴ 点C的坐标为(0,3). ∵ 该二次函数图象的对称轴为直线 x=2,且点C 和点B 关于对称轴 对称, ∴ 点B 的坐标为(4,3). 将(1,0)、(4,3)代入y=kx+b,得 k+b=0, 4k+b=3, 解得 k=1, b=-1. ∴ 一次函数的表达式为y=x-1. (2) ∵ 点A、B 的坐标分别为(1,0)、 (4,3), ∴ 结合图象,可知当kx+b≥(x- 2)2+m 时,1≤x≤4. 专题特训四　二次函数 与几何图形的综合—— 线段和(差)的最值问题 1. (1) 在y=- 1 2x+2 中,令y=0, 得0=-12x+2 ,解得x=4;令x= 0,得y=2. ∴ 点B 的坐标为(4,0),点C 的坐标 为(0,2). 把(4,0)、(0,2)分 别 代 入 y= -12x 2+bx+c,得 -8+4b+c=0, c=2, 解得 b=32 , c=2. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 1 2x 2+32x+2. (2) 设点D 的坐标为 m,-12m2+ 3 2m+2 ,则点E的坐标为 m,-12· m+2 . ∴ DE = - 12m 2 + 32m +2- -12m+2 =-12m2+2m=-