专题特训六 二次函数与几何图形的综合——特殊图形问题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（华东师大版）

专题特训六　二次函数与几何图形的综合——特殊图形问题 ▶ “答案与解析”见P17 类型一 二次函数与等腰三角形的存在性问题 1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+4与x轴交于点 A(1,0)、B,与y 轴交于点C,对称轴为直线 x=52. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 如图①,若P 是线段BC 上的一个动点 (不与点B、C 重合),过点P 作y 轴的平行 线,交抛物线于点Q,连结OQ.当线段PQ 的 长最大时,判断四边形OCPQ 的形状并说明 理由. (3) 如图②,在(2)的条件下,D 是OC 的中 点,过点Q 的直线与抛物线交于点E,且 ∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F, 使得△BEF 为等腰三角形? 若存在,求点F 的坐标;若不存在,请说明理由. (第1题) 类型二 二次函数与直角三角形的存在性问题 2. ★如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点的坐 标为(2,-1),与y轴交于点C(0,3),与x轴 交于A、B 两点(点A 在点B 的左侧). (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D, 连结AC、AD,E 为直线BC 上的任意一点, 过点E 作x轴的垂线与抛物线交于点F,连 结DF.是否存在点E,使△DEF 为直角三 角形? 若存在,求出点E 的坐标;若不存在, 请说明理由. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 数学(华师版)九年级下 类型三 二次函数与平行四边形的存在性问题 答案讲解 3. (2023·巴中)如图,在平面直角坐 标系中,抛物线y=ax2+bx+c经 过点A(-1,0)、B(0,3),其顶点的 横坐标为1. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若直线x=m 与x 轴交于点N,在第一 象限内与抛物线交于点M.当m 取何值时, AN+MN 有最大值? 求出最大值. (3) 若P 为抛物线y=ax2+bx+c的对称 轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位后, Q 为平移后的抛物线上一动点.是否存在以 A、P、Q 及在(2)的条件下求得的M 为顶点 的四边形是平行四边形? 若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (第3题) 类型四 二次函数与特殊平行四边形的存在性 问题 4. 如图,抛物线经过点A(-4,0)、B(1,0)、 C(0,3),点P 在抛物线上,且在x轴的上方, 点P 的横坐标记为t. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若点D 在直线 AC 上,点E 在y 轴上, 且位于点C 的上方,则在抛物线上是否存在 点P,使得以C、D、E、P 为顶点的四边形是 菱形? 若存在,求出该菱形的面积;若不存 在,请说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第26章　二次函数 ∴ 二 次 函 数 的 表 达 式 为 y = -12 (x+2)(x-6)=- 12x 2+ 2x+6. (2) 如图,作点O 关于直线BC 的对 称点E,连结EC、EB. ∵ B(6,0)、C(0,6), ∴ OB=OC=6. ∵ 点 O、E 关 于 直 线 BC 对 称, ∠BOC=90°, ∴ 易得四边形OBEC为正方形. ∴ E(6,6),BE=6. 又∵ A(-2,0), ∴ OA=2,则AB=2+6=8. 连结AE,交BC于点D.由对称性,得 DE=DO,此时DO+DA 取到最小 值,为AE 的长. 又 ∵ AE = AB2+BE2 = 82+62=10, ∴ DA+DO 的最小值为10. ∵ △AOD 的周长为DA+DO+AO, AO=2,DA+DO 的最小值为10, ∴ △AOD 的周长的最小值为10+ 2=12.