专题特训三 圆中常用的辅助线作法-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（沪科版）

类型四 构造圆内接四边形 方法归纳:圆周上有多个点时,可思考构造圆内接四 边形. 7. 如图,在☉O 的内接四边形ABCD 中,AB= AD,点E 在AD ︵ 上,∠E=125°,求∠C 的 度数. (第7题) 类型五 “连半径证垂直”与“作垂直证 半径”———判定直线与圆相切 方法归纳:证明一条直线是圆的切线,当直线与圆有 公共点时,只需“连半径证垂直”即可;当已知条件中 没有指出圆与直线有公共点时,常运用“d=r”进行 判断,即过圆心作已知直线的垂线,证明垂线段的长 等于半径. 答案讲解 8. (2023·铁岭)如图,AB 是☉O 的直 径,点 C,E 在☉O 上,∠CAB= 2∠EAB,点F 在线段AB 的延长线 上,且∠AFE=∠ABC. (1) 求证:EF 与☉O 相切. (2) 若BF=1,sin∠AFE=45 ,求BC 的长. (第8题) 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB 的 平分线交AB 于点O,以点O 为圆心的圆与 AC 相切于点D. (1) 求证:BC 与☉O 相切. (2) 当AC=3,BC=6时,求☉O的半径. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 数学(沪科版)九年级下 在Rt△DCF 中,DC2=CF2+DF2, 即(2+x)2=(x-2)2+(25)2, 解得x=52. ∴ BC=52. (2) ∵ ∠BAD=∠ABC=90°, ∴ ∠BAD+∠ABC=180°. ∴ AD∥BC. ∴ △ADE∽△GCE. ∴ AD GC= DE CE= AE GE. ∵ 由(1)知,AD=DE=2, ∴ CG=CE=BC=52. ∴ BG=BC+CG=5. ∴ AE GE= AD GC= 2 5 2 =45. 在Rt△ABG 中,AG= AB2+BG2= (25)2+52=35, ∴ EG= 54+5AG= 55 3 . (第13题) 14. ∵ PA,PB 分别切☉O 于点A, B,过点C 的切线分别交PA,PB 于 点M,N, ∴ MA=MC=x,BN=CN=y, PA=PB=6. ∴ MN=x+y,MP=6-x,NP= 6-y. ∵ ∠APB=90°, ∴ 在Rt△MNP 中,由勾股定理,得 MP2+NP2=MN2,即(6-x)2+ (6-y)2=(x+y)2,整理,得72- 12x-12y=2xy. ∴ y= 72-12x 2x+12 ,即y= 36-6x x+6 (0< x<6). 专题特训三　圆中常用的 辅助线作法 1. B [解 析]如 图,连 接 OA. ∵ OC=AC=OA,∴ △OAC 为等边 三角形.∴ ∠OAC=60°.∵ OA= OB,∴ ∠OAB = ∠OBA =20°. ∴ ∠BAC= ∠OAC - ∠OAB = 60°- 20°= 40°.∴ ∠BOC = 2∠BAC=80°. (第1题) 2. D [解析]如图,连接OA,OC. ∵ ∠ABC = 20°,∠DAC = 24°, ∴ ∠AOC=2∠ABC=40°,∠COD= 2∠DAC=48°.∴ ∠AOD=∠AOC+ ∠COD=40°+48°=88°.∵ OD= OA,∴ ∠ADO = ∠OAD = 12 × (180°-88°)=46°. (第2题) 3. B [解析]如图,连接OB,设OA 交 BC 于 点 E.∵ ∠ADB =30°, ∴ ∠AOB=2∠ADB=60°.∵ OA⊥ BC,BC=23,∴ BE=12BC= 3. 在Rt△BOE 中,sin∠AOB=BEOB , ∴ sin60°= 3OB.∴ OB=2.∴ OC=2. (第3题) 4. 184 [解析]如 图,过 点 O 作 OD⊥AB,垂足为D.∴ AD=BD. ∵ OD=5米,∴ cos∠AOD=ODOA= 5 10 = 1 2.∴ ∠AOD = 60°.在 Rt△ADO 中,AD =tan∠AOD · OD= 3OD =53 米.∴ 易 得 ∠AOB =120°,AB =10 3 米. ∴ S涂色部分= S扇形O