专题特训二 垂径定理的应用-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（沪科版）

专题特训二　垂径定理的应用 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 求半径 1. (2023·上海)如图,在☉O 中,弦AB 的长为 8,点C 在BO 的延长线上,且cos∠ABC= 4 5 ,OC=12OB. 求: (1) ☉O 的半径. (2) ∠BAC 的正切值. (第1题) 类型二 求弦长 2. 如图,AB 为☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点 E,若AB=26,EB=8,求弦CD 的长. (第2题) 3. 如图,直线AC 与☉O 相交于点B,C,直线 AD 过 圆 心 O.若 ☉O 的 半 径 是 5,且 ∠DAC=30°,AD=13,求弦BC 的长. (第3题) 类型三 求弦心距 4. 如图,☉O 的直径AB 垂直于弦CD,垂足为 E,AE=2,CD=8.求OE 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 第24章　圆 [解析]分圆心在三角形内和在三角形 外两种情况讨论:① 如图①,当圆心O 在△ABC内时,连接OA,OB,过点O 作OD⊥BC于点D.结合垂径定理和 等腰三角形的性质,易得A,O,D 三 点共线.∵ OD=3cm,OB=OA= 7cm,∴ AD=OD+OA=3+7= 10(cm).∴ 在 Rt△OBD 中,BD= OB2-OD2=2 10cm.∵ AD⊥ BC,∴ 在 Rt△ABD 中,AB = AD2+BD2=2 35cm.② 如图 ②,当圆心O在△ABC外时,同理可得 BD=2 10cm,AD⊥BC.此时,AD= 7-3=4(cm),则AB= AD2+BD2= 2 14cm.综上所述,腰AB 的长为 2 35cm或2 14cm. (第13题) 14. (1) 如图,连接AO 并延长,交 BC于点E. ∵ AB=AC, ∴ AB︵=AC︵. ∵ AE 经过圆心O, ∴ AE 垂直平分BC. ∴ AE 平分∠BAC. ∴ ∠BAC=2∠BAE. ∵ OA=OB, ∴ ∠ABD=∠BAE. ∴ ∠BAC=2∠ABD. (2) 设∠ABD=x. 由(1)知,∠BAC=2∠ABD=2x. ∴ ∠BDC=∠ABD+∠BAC=3x. 显然DB≠DC. ① 若BC=BD, 则∠C=∠BDC=3x. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C=3x. 在 △ABC 中,∠ABC + ∠C + ∠BAC=180°, ∴ 3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°. ∴ ∠BCD=3x=67.5°. ② 若 CD = CB,则 ∠BDC = ∠CBD=3x. ∴ ∠C = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD=4x. 在 △ABC 中,∠ABC + ∠C + ∠BAC=180°, ∴ 4x+4x+2x=180°. ∴ x=18°. ∴ ∠BCD=4x=72°. 综上所述,当△BCD 是等腰三角形 时,∠BCD 的度数为67.5°或72°. (第14题) 专题特训二　垂径定理的 应用 1. (1) 如图,过点O 作OD⊥AB,垂 足为D. ∵ AB=8, ∴ AD=BD=12AB=4. 在Rt△OBD 中,cos∠ABC=45 , ∴ OB= BDcos∠ABC= 4 4 5 =5. ∴ ☉O 的半径为5. (2) 如图,过点C 作CE⊥AB,垂足 为E. ∵ OC=12OB ,OB=5, ∴ BC=32OB=7.5. ∵ OD⊥AB, ∴ OD∥CE. ∴ 易得BO BC= BD BE. 由(1),知BD=4, ∴ 2 3= 4 BE. ∴ BE=6. ∴ AE=AB-BE=8-6=2. 在Rt△BCE中,CE= BC2-BE2= 7.52-62=4.5, 在Rt△ACE 中,tan∠BAC=CEAE= 4.5 2 = 9 4 , ∴ ∠BAC的正切值为94. (第1题) 2. 如图,连接OC. ∵ AB 为☉O 的直径,CD⊥AB, ∴ CE=DE= 12CD ,OC=OB= 1 2AB=13. ∴ OE=OB-EB=13-8=5. 在 Rt△OCE 中,由 勾 股 定 理,得 CE= OC2-OE2=