专题特训三 解直角三角形的四种应用类型-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（北师大版）

　　　 　专题特训三　解直角三角形的四种应用类型 ▶ “答案与解析”见P9 类型一 仰角、俯角(测高)问题 1. (2023·新疆生产建设兵团)烽燧即烽火台, 是古代军情报警的一种措施,据史册记载,夜 间举火称“烽”,白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈 烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内建成时间 最早、保存最完好的古代烽燧.某数学兴趣小 组利用无人机测量该烽燧的高度,如图,无人 机飞至距地面高度为31.5米的点A 处,测 得烽燧BC 的顶部点C 的俯角为50°,测得烽 燧BC 的底部点B 的俯角为65°,试根据提供 的数据计算烽燧 BC 的高度(参考数据: sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2, sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1). (第1题) 类型二 方向角(定位)问题 2. (2022·青岛)如图,AB 为东西走向的滨海 大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色 出行”健步走公益活动,小宇在点A 处时,某 艘海上观光船位于小宇北偏东68°方向的点 C 处,观光船到滨海大道的距离 CB 为 200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米 到达点E 处时,观光船沿北偏西40°的方向 航行至点D 处,此时,观光船恰好在小宇的 正北方向,求观光船从点C 处航行到点D 处 的距离(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈ 0.77,tan40°≈0.84,sin68°≈0.93,cos68°≈ 0.37,tan68°≈2.48). (第2题) 3. (2023·包头)为了增强学生体质、锤炼学生 意志,某校组织一次定向越野活动.如图,A 为出发点,途中设置两个检查点B,C,行进 路线为A→B→C→A.点B 在点A 的南偏 东25°方向32km处,点C 在点A 的北偏东 80°方向上,行进路线AB 和BC 所在直线的 夹角∠ABC 为45°. (1) 求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角 ∠BCA 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 第一章　直角三角形的边角关系 (2) 求检查点B 和C 之间的距离(结果保留 根号). (第3题) 类型三 坡度、坡角(坡坝)问题 4. 如图,某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度, 先沿着斜坡AB 走了52米到达坡顶点B 处, 然后在点B 处测得大楼顶端点C 的仰角为 53°,斜坡AB 的坡度为512 ,点A 到大楼的距 离AD 为72米,求大楼CD 的高度 参考数 据:sin53°≈45 ,cos53°≈35 ,tan53°≈43 . (第4题) 类型四 测距问题 答案讲解 5. (2023·绥化)如图,直线MN 和EF 为河的两岸,且MN∥EF,为了测量 河两岸之间的距离,某同学在河岸 FE 上的点B 处测得∠CBE=30°,从点B 处 沿河岸FE 的方向走40米到达点D 处,测得 ∠CDE=45°. (1) 求河两岸之间的距离(结果保留根号). (2) 若从点D 处继续沿DE的方向走(123+ 12)米到达点P 处,求tan∠CPE 的值. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 数学(北师版)九年级下 4(3+1). ∴ BC=AC+AB=4(3+1)+3= 43+7≈14(米). ∴ 无人机飞行的高度约为14米. (第3题) 4. 由题意,得∠C=90°,∠DAC= 45°,AB=25米,∠DBE=60°. ∵ 斜坡AB 的坡度为724 , ∴ BF AF= 7 24. 设BF=7a米,则AF=24a米. 在 Rt△ABF 中,由 勾 股 定 理,得 AF2+BF2 =AB2,即 (24a)2 + (7a)2=252, ∴ a=1. ∴ BF=7米,AF=24米. 设BE=x米. ∵