3.4 第1课时 圆周角定理及其推论1-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（北师大版）

4　圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论1 ▶ “答案与解析”见P34 1. 下列四幅图中,∠α为圆周角的是 ( ) A. B. C. D. 2. (2023·河南)如图,点A,B,C 在☉O 上.若 ∠C=55°,则∠AOB 的度数为 ( ) A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° (第2题) (第3题) 3. 如 图,A,B,C,D 是 ☉O 上 的 四 个 点, ∠BEC=84°,∠B=24°,则∠D 的度数是 °. 4. (2023·周口期末)如图,AD=BC,AC=1, ∠D=30°. (1) 求证:AB=CD. (2) 求☉O 的半径. (第4题) 5. (2023·滕州模拟)船在航行过程中,船长常 常通过测量角度来判断是否有触礁危险.如 图,A,B 表示灯塔,暗礁分布在经过A,B 两 点的一个圆形区域内,优弧ACB 是有触礁危 险的临界线,∠ACB 是“危险角”.当船分别 位于D,E,F,G 四个位置时,船与两个灯塔 的夹角小于“危险角”∠ACB 的是 ( ) (第5题) A. ∠ADB B. ∠AEB C. ∠AFB D. ∠AGB 6. 如图,☉O的弦AB,CD 相交于点P.若AP= 6,BP=8,CP=4,则CD 的长为 ( ) (第6题) A. 16 B. 24 C. 12 D. 20 7. (2023·广安)如图,△ABC 的三个顶点在 ☉O 上,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦 BC 的长为 . (第7题) 8. 如图,点A,B,C,D 在☉O 上,点E 在AC 上,EC=BC=DC. (1) 若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 第三章　圆 (2) 求证:∠1=∠2. (第8题) 9. 如图,AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点 G,F 是CD 上一点,且满足CFFD= 1 3 ,连接AF 并延长,交☉O 于点E,连接AD,DE,其中 CF=2,AF=3. (1) 求证:△ADF∽△AED. (2) 求FG 的长. (3) 求证:tanE= 54. (第9题) 答案讲解 10. 如图,☉O 中两条互相垂直的弦 AB,CD 交于点E. (1) 若M 是CD 的中点,OM=3, CD=12,求☉O 的半径. (2) 若点F 在CD 上,且CE=EF,连接 AF,求证:AF⊥BD. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 数学(北师版)九年级下 OF+OE=14cm.综上所述,弦AB 和CD 之间的距离为2cm或14cm. (第8题) 忽略弦的位置而导致错误 求圆中两条平行弦之间的距离 时,要注意这两条弦相对于圆心的 位置,两条弦可能在圆心的同侧,也 可能在圆心的异侧.本题容易因考 虑不周而出错. 9. (1) 如图,过点O 作OD⊥AB,垂 足为D. ∵ AB=8, ∴ AD=BD=12AB=4. 在Rt△OBD 中,cos∠ABC=45 , ∴ OB= BDcos∠ABC= 4 4 5 =5. ∴ ☉O 的半径为5. (2) 如图,过点C作CE⊥AB,垂足为 E,则∠CEB=90°. ∵ OC=12OB ,OB=5, ∴ BC=32OB=7.5. ∵ OD⊥AB, ∴ ∠ODB=∠CEB=90°. ∴ OD∥CE. ∴ OB CB= BD BE ,即 5 7.5= 4 BE. ∴ BE=6. ∴ AE=AB-BE=8-6=2. 在Rt△BCE中,CE= BC2-BE2= 7.52-62=4.5. ∴ tan∠BAC=CEAE= 4.5