3.3 垂径定理-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（北师大版）

*3　垂径定理 ▶ “答案与解析”见P33 1. (2022·云南)如图,AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB= 26,CD=24,则∠OCE 的余弦值为 ( ) A. 7 13 B. 12 13 C. 7 12 D. 13 12 (第1题) (第2题) 2. (2023·永州)如图,☉O 是一个盛有水的容 器的横截面,☉O 的半径为10cm,水的最深 处到水面AB 的距离为4cm,则水面AB 的 宽度为 cm. 3. 如图①所示的圆形拱门屏风是我国古代常见 的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素 的韵味.如图②所示为一款拱门的示意图,拱 门最下端AB=18分米,C 为AB 的中点,D 为拱门最高点,圆心O 在线段CD 上,CD= 27分米,求拱门所在圆的半径. (第3题) 4. 如图,☉O 的半径OA=6,以点A 为圆心, OA 的长为半径的弧交☉O 于B,C 两点,则 BC 的长为 ( ) A. 63 B. 62 C. 33 D. 32 (第4题) (第5题) 5. ★(2022·泸州)如图,AB 是☉O 的直径, OD⊥弦AC 于点D,DO 的延长线交☉O 于 点E.若AC=42,DE=4,则BC 的长是 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 6. 如图,AB 为☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点 F,OE⊥AC 于点E.若OE=3,OB=5,则 CD 的长是 ( ) A. 9.6 B. 45 C. 53 D. 10 (第6题) (第7题) 7. (2023·烟台栖霞期末)如图(单位:cm)所示 的工件槽的两个底角均为90°,将形状规则的 铁球放入槽内,若铁球与槽同时有A,B,E 三个接触点,则该球的半径为 cm. 8. ★已知☉O 的半径为10cm,AB,CD 是☉O 的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD= 12cm,则 弦 AB 和 CD 之 间 的 距 离 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 95 第三章　圆 9. (2023·上海)如图,在☉O 中,弦AB 的长为 8,点C 在BO 的延长线上,且cos∠ABC= 4 5 ,OC=12OB. 求: (1) ☉O 的半径. (2) ∠BAC 的正切值. (第9题) 答案讲解 10. 如图,AB 是☉O 的直径,AB=10, C 为☉O 上异于点A,B 的一点, M 为弦BC 的中点. (1) 若AM 交OC 于点E,求OECE 的值. (2) 若AM⊥OC 于点E,求∠ABC 的正 弦值. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06 数学(北师版)九年级下 ∴ CD=2.∵ CE=2×3=6,∴ 在 Rt△CDE 中,DE= CD2+CE2= 22+62=2 10,即PC+PD 的最 小值为2 10. 12. (1) 四边形OACB 是菱形. 理由:连接OC. ∵ ∠AOB=120°,C 是劣弧AB 的 中点, ∴ ∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60°. ∵ OA=OC=OB, ∴ △AOC 与 △BOC 都 是 等 边 三 角形. ∴ AC=OA=OB=BC. ∴ 四边形OACB 是菱形. (2) 由(1),知△AOC是等边三角形, ∴ ∠OAC=∠OCA=60°. ∵ AP=OA,AC=OA, ∴ AP=AC. ∴ ∠P=∠ACP=12∠OAC=30°. ∴ ∠OCP=∠OCA+∠ACP=90°. ∵ ☉O 的半径为2, ∴ OC=OA=2,OP=2OA=4. ∴ 在Rt