2.4 第1课时 最大面积与抛物线型问题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（北师大版）

4　二次函数的应用 第1课时 最大面积与抛物线型问题 ▶ “答案与解析”见P17 1. ★(2022·遂宁)如图,D,E,F 分别是△ABC 三边上的点,其中BC=8,边BC 上的高为 6,且DE∥BC,则△DEF 的面积的最大值为 ( ) (第1题) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 有一扇窗户的形状如图所示,上部由两个正 方形组成,下部是一个矩形.制作窗框的材料 总长为6m,请回答下列问题(窗框的面积忽 略不计). (1) 若AB 的长为1m,求此时窗户的透光 面积. (2) 如何设计这扇窗户,才能使其透光面积 最大? 请通过计算加以说明. (第2题) 3. (2022·自贡)九年级(2)班计划在劳动实践 基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏, 准备围成一个一边靠墙(墙足够长)的菜园, 为了让菜园的面积尽可能大,同学们提出了 围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这 三种方案(如图),其中最佳方案是 ( ) (第3题) A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案1或方案2 4. (2023·长春九台二模)如图①,“东方之门” 通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现 代建筑理念融为一体,最大程度地传承了苏 州的历史文化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛 物线形状,其底部宽度为80m,高 度 为 200m,则离地面150m高处的水平宽度(即 CD 的长)为 m. (第4题) 答案讲解 5. (2022·湘潭)为落实《中共中央 国务院关于全面加强新时代大中小 学劳动教育的意见》,某校准备在校 园里利用围墙(墙长12m,一边只利用围墙) 和21m长的篱笆墙,围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩 形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两 种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(北师版)九年级下 浪费篱笆墙),请根据设计方案回答问题: (1) 方案一:如图①,利用围墙的全部长度, 但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池, 且需保证总种植面积为32m2,试分别确定 CG,DG 的长. (2) 方案二:如图②,使围成的两块矩形劳动 实践基地的总种植面积最大,请问:BC 应设 计为多长? 此时最大面积为多少? (第5题) 答案讲解 6. 如图①,某游乐园有一个直径为 16米的圆形喷水池,喷水池的周边 有一圈喷水头,喷出的水柱呈抛物 线形状,在距水池中心3米处达到最高,高度 为5米,且从各个方向喷出的水柱恰好在喷 水池中心的装饰物处汇合.如图②,以水平方 向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角 坐标系. (1) 求水柱所在抛物线(第一象限部分)对应 的函数表达式. (2) 王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水 管意外喷水,为了不被淋湿,身高为1.8米的 王师傅站立时必须在离水池中心多少米 以内? (3) 经检修和评估,游乐园决定对喷水设施 做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的 前提下,把水池的直径扩大到32米,从各个 方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装 饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后 喷水池水柱的最大高度. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 第二章　二次函数 当对称轴为直线x=3时,由题意,得 c=2, 16a+4b+c=3, -b2a=3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=-18 , b=34 , c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 综 上所述,抛物线对应的函数表达式为 y= 1 8x 2-14x+2 或y=- 1 8x 2+ 3 4x+2. 8. y=- 1 2x 2+32x+2 [解析]由 题 意,得 ∠AOC = ∠ACB =