6.2.1- 6.2.2 排列与排列数-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.1- 6.2.2 排列与排列数 [核心素养·学习目标] 课程目标 学科素养 A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 1.数学抽象：排列的概念 2.逻辑推理：排列数的性质 3.数学运算：运用排列数解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为排列问题 重点：理解排列的定义及排列数的计算 难点：运用排列解决计算问题 课前预习 预习01排列、排列数与排列数公式 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)，这里n，m∈N＋，并且 预习02全排列、阶乘的概念及相关性质 1.(1)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列． (2)n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示． (3)阶乘的相关应用： ①规定：0！＝ ； ②排列数公式的另一种形式：A＝． 2．排列数的性质 ①A＝nA；　②A＝ ． 知识讲解 知识点01排列 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。 排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列” 2、相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。 3、对排列概念的两个关注点： （1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 （2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 知识点02排列数 1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。 3、排列数公式： 特别的：（且）；规定： 知识点03有限制条件排列问题常见类型 1、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。 【大招总结】 大招1 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 大招2树形图的画法 （1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位． （2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类． （3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止． 大招3简单的排列问题 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解． 大招4排列数公式的选择 （1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． （2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 大招5相邻问题 相邻问题捆绑法 大招6不相邻问题 不相邻问题插空法 大招7定序问题 定序问题先选后排 大招8间接法 间接法正难则反 典型例题 题型01排列的概念 【例1】下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 【变式】下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人