重难点08 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点08 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 03 典型例题 【例1】（2024·天津红桥·高二学业考试）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 【答案】． 【解析】解：因为正方体的顶点都在同一球面上， 所以球的直径为正方体的对角线， 所以， 所以， 故球的表面积：． 故答案为：． 题型一：正方体、长方体模型 典型例题 【变式1-1】（2024·吉林·长春外国语学校高一期中）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是__________ 【答案】 【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4， 所以长方体的体对角线长为： ， 故长方体的外接球的半径为 ，球的表面积为：， 故答案为： 题型一：正方体、长方体模型 典型例题 【例2】（2024·江西师大附中高二期中）正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，若BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是________． 【答案】． 【解析】如图，，． ∴ 设，则． ∴，则． ∴，即正四面体的棱长为． ∴该正四面体的外接球的半径为 ∴该正四面体的外接球的体积为 故答案为． 题型二： 正四面体模型 典型例题 【变式2-1】（2024·广西·南宁三中高二阶段练习）设正四面体的棱长为，则它的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】正四面体补成为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径， 正四面体的棱长为，即正方体面上的对角线长为， 所以正方体棱长为1，对角线长为 ， 所以球的体积为：，故填． 题型二： 正四面体模型 典型例题 【例3】（2024•罗湖区月考）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为 　　． 【解析】解：如下图所示， 将四面体放在长方体内， 在四面体中，， 设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径， 设该长方体的外接球半径为， 所以，该四面体的外接球直径为， 因此，四面体的外接球的表面积为， 故答案为：． 题型三：对棱相等模型 典型例题 【变式3-1】（2024•孟津县校级期末）若四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为　　． 【解析】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面， 且以分别，，长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为，，的长方体， 并且，，， 则有为球的半径）， 所以球的表面积为． 故答案为：． 题型三：对棱相等模型 典型例题 【例4】（2024·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，若，则该球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设上下底面三角形外接圆的圆心为，则球心在的中点处， 如图，设球的半径为，底面三角形外接圆的半径为， 则由正弦定理可知，即， 因为，所以， 所以， 故选：A 题型四：直棱柱模型 典型例题 【变式4-1】（2024·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）在直三棱柱中， ，则三棱柱外接球体积等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，因，即， 则， 于是得，将其补形成棱长为2的正方体，如图， 则直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球， 球半径，因此，， 所以三棱柱外接球体积等于． 故选：A 题型四：直棱柱模型 典型例题 【例5】（2024·河南·新乡市第一中学高一期末）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为， 则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 则为圆柱的外接球球心，球的半径为， 可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示： 由正弦定理可知圆的直径为， 所以