专题特训五 相似在三角形、四边形和圆中的综合应用-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（人教版）

专题特训五　相似在三角形、四边形和圆中的综合应用 ▶ “答案与解析”见P19 类型一 相似在三角形中的应用 1. (2023· 福 建)如 图 ①,在 △ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC,D 是边AB 上不与 点A,B 重合的一个定点.AO⊥BC 于点O, 交CD 于点E.DF 是由线段DC 绕点D 按 顺时针方向旋转90°得到的,FD,CA 的延长 线相交于点M,连接BF,CF. (1) 求证:△ADE∽△FMC. (2) 求∠ABF 的度数. (3) 如图②,若N 是AF 的中点,连接ND, NO,求证:ND=NO. (第1题) 类型二 相似在四边形中的应用 答案讲解 2. (2023·武汉)问题提出:如图①,E 是菱形ABCD 的边BC 上一点, △AEF 是等腰三角形,AE=EF, ∠AEF=∠ABC=α(α≥90°),AF 交CD 于 点G,连接 CF,探究∠GCF 与α 的数量 关系. 问题探究:(1) 先将问题特殊化,如图②,当 α=90°时,求∠GCF 的度数. (2) 再探究一般情形,如图①,探究∠GCF 与 α的数量关系,并说明理由. 问题拓展:将图①特殊化,如图③,当α=120° 时,若DG CG= 1 2 ,请直接写出BE CE 的值. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(人教版)九年级下 类型三 相似在圆中的应用 3. (2022·无锡)如图,边长为6的等边三角形 ABC 内接于☉O,D 为AC 上的动点(不与点 A,C 重合),BD 的延长线交☉O 于点E,连 接CE. (1) 求证:△CED∽△BAD. (2) 当DC=2AD 时,求CE 的长. (第3题) 类型四 新定义问题 答案讲解 4. 我们规定:如图①,点B 把线段AC 分成两部分,如果BC AB= AB AC ,那么称 B 为线段AC 的黄金分割点,它们的比值为 5-1 2 . (1) 如图①,若AC=20,则AB= . (2) 如图②,用边长为20cm的正方形纸片进 行如下操作:对折正方形纸片ABCD 得到折 痕EF,连接CE,将CB 折叠到CE 上,点B 的对应点为H,折痕为CG.求证:G 是线段 AB 的黄金分割点. (3) 如图③,小明进一步探究:在边长为a的 正方形ABCD 的边AD 上任取一点E(AE> DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB 于点F, 延长EF,CB 交于点P.他发现当BP 与BC 满足某种关系时,E,F 恰好分别是AD,AB 的黄金分割点.小明的发现是什么? 请给出 猜想,并说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 第二十七章　相　似 ∴ x x-2.2= 10 6 ,解得x=5.5.经检 验,x=5.5是原分式方程的解,且符 合题意.∴ AB=5.5m. (第5题) 6. 27 [解析]如图,设这个展开图折 成的正方体的棱长为xcm,延长FE 交AC于点D,则GH=3xcm,CH= EF=2xcm,EG =xcm,DF = 4xcm.∵ DF∥BC,∴ △GEF∽ △GHB.∴ GE GH= EF HB.∴ GE EF= GH HB. ∵ EG EF= 1 2 ,∴ GH HB= 1 2.∴ HB= 6xcm.∵ BC=24cm,∴ 2x+6x= 24,解得x=3,即这个展开图折成的 正方体的棱长为3cm.∴ 这个展开图 可折成的正方体的体积为27cm3. (第6题) 7. 24 [解析]如图,延长FB 交EA 的延长线于点T,设TA=x米,CE= y米.由题意,得AB=1.5米,AC= CD=3米,EF=15米.∵ AB∥CD, ∴ △TAB