专题特训四 巧作辅助线构造相似-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（人教版）

专题特训四　巧作辅助线构造相似三角形 ▶ “答案与解析”见P16 类型一 巧连线段中点构造相似三角形 1. 将两把含30°角的三角尺按如图所示的方式 拼接在一起,E 为AD 的中点,连接BE 交 AC 于点F,则AFAC= . (第1题) (第2题) 答案讲解 2. (2023· 南 充 二 模)如图,AD 是 △ABC的中线,点E 在AC 上,BE 交AD 于点F.若 AD=3AF,则 AE AC= . 3. 如图①,在△ABC 中,D,E 分别是BC,AB 的中点,AD,CE 相交于点G.求证:GECE= GD AD= 1 3. (1) 请根据图①中的提示,写出完整的证明 过程. (2) 在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于 点O,E 是BC 的中点,AE,BD 相交于点F. ① 如图②,若四边形ABCD 为正方形,且 AB=6,则OF 的长为 . ② 如 图③,连 接 DE 交 AC 于 点G,若 S四边形OFEG= 1 2 ,则S▱ABCD= . (第3题) 类型二 过顶点作辅助线构造相似三角形 4. (2023·合肥期中)如图,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,以 AC 为边作等边三角形 ADC,CD 交斜边AB 于点E,若CE=2DE, 则BC∶AC 为 ( ) A. 1∶1 B. 3∶4 C. 3∶2D. 2∶2 (第4题) (第5题) 5. (2023·宿迁模拟)如图,在△ABC 中,AB= 4,BC=5,点D,E 分别在BC,AC 上,CD= 2BD,CE=2AE,BE 交 AD 于 点F,则 △AFE 面积的最大值是 . 6. (2023·马鞍山一模)如图,在Rt△ABC 中, ∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,F 为DE 上一动点,FG⊥ BC 于点G,GH∥BA 交AC 于点 H,连 接FH. (1) FG 的长为 . (2) 当△FGH 和△ABC 相 似 时,求 FH 的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 数学(人教版)九年级下 7. (2022·南通一模)在矩形ABCD 中,AB< BC,AB=6,E 是射线CD 上一点,点C 关于 BE 的对称点F 恰好落在射线DA 上. (1) 如图,当点E 在边CD 上时,若BC=10, 则DF 的长为 ;若AF·DF=9,求 DF 的长. (2) 作∠ABF 的平分线交射线DA 于点M, 当MF BC= 1 2 时,求DF 的长. (第7题) 类型三 延长已有的线段构造相似三角形 答案讲解 8. (2022·邢台模拟)如图,在△ABC 中,E,F 是边BC 上的三等分点, BM 是边AC 上的中线,AE,AF 分 BM 为三段的长分别是x,y,z.如果x>y> z,那么x∶y∶z为 ( ) (第8题) A. 3∶2∶1 B. 4∶2∶1 C. 5∶2∶1 D. 5∶3∶2 9. 如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别为边AB, AD 的中点,BF 与EC,ED 分别交于点M, N.已知AB=4,BC=6,求线段MN 的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 第二十七章　相　似 ∴ S△ABE =S△ABC =S1,EO=3a, EC=4a. ∴ a CD= 3a 4a. ∴ CD=43a. ∵ △ABC∽△DAC, ∴ BC AC= AC CD. ∴ AC2=BC·CD=83a 2. ∵ △ABC∽△DAC, ∴ S△ACD S△ABC= AC BC 2 =23 ,即S2 S1= 2 3. ∴ S