专题特训三 相似三角形的基本模型-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（人教版）

专题特训三　相似三角形的基本模型 ▶ “答案与解析”见P13 类型一 “A”字型 1. (2023·宁德寿宁模拟)如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4cm,BC=8cm,在 Rt△ABC 的内部作一个矩形DBFE,其中 DB,BF 在两直角边上,设矩形的一边BF 的长为xcm. (1) AD= cm,BD= cm. (2) 设矩形DBFE 的面积为ycm2. ① 求y与x的关系式. ② 当x 取何值时,y 的值最大? 最大值是 多少? (第1题) 类型二 “X”字型 2. (2023·太原一模)如图,正方形ABCD 的边 长为6,F 是边BC 上一点,连接AF 交对角 线BD 于点E.若DE=2BE,则EF 的长为 ( ) (第2题) A. 2 B. 5 C. 22 D. 3 答案讲解 3. (2023·上海二模)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AC,BD 相交 于点O,OB=OC. (1) 求证:AB=CD. (2) E 是边BC 上一点,连接DE 交AC 于点 F,如 果 AO2=OF·OC,求 证:四 边 形 ABED 是平行四边形. (第3题) 类型三 “一线三等角”型 4. (2023·邵阳)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,B 是线段AD 上的一点,且CB⊥BE.已知 AB=8,AC=6,DE=4. (1) 求证:△ABC∽△DEB. (2) 求线段BD 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 数学(人教版)九年级下 5. (2023·杭州一模)如图,在△ABC 中,AB= AC,点E 在边BC 上移动(点E 不与点B,C 重合),点D,F 分别在边AB,AC 上,且满足 ∠DEF=∠B. (1) 求证:△BDE∽△CEF. (2) 若BE=CE,且BD=6,CF=4,求DEEF 的值. (第5题) 类型四 “手拉手”型 答案讲解 6. (2023· 菏泽一模)(1) 如图①, △ABC 和△ADE 都是等边三角 形,连接BD,CE,求证:BD=CE. (2) 如图②,△ABC 和△ADE 都是直角三 角形,∠ABC=∠ADE=90°,∠ACB= ∠AED,AB=34BC ,连接BD,CE,求BDCE 的值. (第6题) 类型五 “子母”型 7. (2023·哈尔滨一模)如图,在△ABC 中,AD 是△ABC 的中线,CE⊥AD,垂足为 E, CE=3,AB=3 10,∠BAD=∠BCE,则线 段AC 的长为 . (第7题) 8. ★(2023·广东模拟)如图,☉O 为等边三角形 ABC 的外接圆,P 为劣弧BC 上任意点,CP 的延长线和AB 的延长线交于点 D,连 接BP. (1) 求∠BPC 的度数. (2) 求证:AC2=CP·CD. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 第二十七章　相　似 ∴ AD BD= BD DF. ∵ AF=7,DF=1, ∴ BD2=AD·DF=(AF+DF)· DF=8. ∴ BD=22. 11. (1) 由CB CA = BD AB ,得 BD = AB·CB CA . ∵ BD=AD=AC-CD,CD=CB 2 CA , ∴ AC-CB 2 CA= AB·CB CA . ∴ AC2-BC2=AB·BC. ∴ AC2=AB·BC+BC2=BC· (AB+BC). ∴ 在△ABC 中,若∠ABC=2∠A, 则AC2=BC·(AB+BC). (2) 8. (3) 如 图,作 ∠CBD = ∠A,则 ∠ABD=2∠A. ∴ △ABD 是“2倍角三角形”. ∴ AD2=BD·