10.2.2 复数的乘法与除法（教学课件）高一数学人教B版必修第四册

10.2.2 复数的乘法与除法 设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，z1z2等于什么？ 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.（重点） 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的 分配律．（难点） 探究点1 复数的乘法运算 思考1：设 z1 = 3，z2 = 1– 2i，z3 = – 5i，类比实数的乘法运算，试着计算 z1z2 与z2z3的值？ z1z2 = 3(1 – 2i) = 3 – 6 i； 思考2：结合上述计算结果，猜想任意两个复数相乘的运算规则是什么？ z2z3 = (1 – 2i)(– 5i) =– 5i+10i2=–10–5i 1.复数的乘法法则： 设 z1 = + bi，z2 = c + di (，b，c，d∈R)，则称 z1z2 (或 z1×z2) 为 z1与 z2 的积. z1z2=(+bi)(c+di)=c+bci+di+bdi2 =(c-bd)+(bc+d)i 显然,两个复数的积仍为复数. 由上可知，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用 i2 = – 1 即可算出两个复数的积. 规定：i2 = – 1 2.复数乘法的运算律： z1∙z2= z2∙z1 , (z1∙z2) ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3 . 容易验证，复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数z1,z2,z3,有 已知z1=2+i, z2=3-4i,计算z1·z2. 解： z1·z2=(2+i)(3-4i) =6-8i+3i-4i2 =10-5i. 即时训练 已知 ，b∈R，求证：( + bi)( – bi) = 2 + b2. 证明：( + i)(– i) 方法小结： （1）共轭复数的积：∀ ∈C， = ||2 = ||2； （2）复数的完全平方及平方差公式： 例1 = 2 – bi + i – 2i2 = 2 + . = 2 + . 计算 (1 + i)2 与 (1 – i)2 的值. 解：(1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i； (1 – i)2 = 12 – 2i + i2 = – 2i. 即时训练 n 个相同的复数 z 相乘时，仍称为 z 的 n 次方(或 n 次幂)，记作 zn，即 3.复数的乘方： 实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对z,z1,z2∈C及m,n∈N有: zm·zn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1·z2)n=z1n·z2n. n 个 zn = z×z×···×z. 【探究】 i 的指数变化规律 思考：你能发现规律吗？有怎样的规律？ 探究点2 复数的除法运算 思考1：设实数 满足求 的值. 思路2:因为 均不为 0，所以上述式子可以改写为 思路1:利用乘法运算展开，根据复数相等列方程组求. 思考2：两个复数能否相除？如何求解？ 将等式右边看成一个分式，根据(1 + 2i)(1 – 2i) = 12 – (2i)2 = 5使分母变为实数 ， 因此 = = = = – i，所以 = ，b = . 如果复数 z2 ≠ 0，则满足 zz2 = z1 的复数 z 称为 z1 除以 z2 的商，并记作 而且同以前一样，z1 称为被除数，z2 称为除数. z = (或 z = z1 ÷ z2)， 复数的倒数： 一般地，给定复数 z ≠ 0，称 为 z 的倒数； z1 除以 z2 的商 可看成 z1 与 z2 的倒数之积. 利用复数除法的定义可以证明，当 w 为非零复数时，有 = ， = + . 1.复数的法定义： 设z1=+bi，z2=c+di (,b,c,d∈R),那么它们的商： 2.复数的法除法则： 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， 所以商 是唯一确定的复数. 分母实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数 注：非零复数的 0 次幂与负整数次幂： 当 z 为非零复数且 n 是正整数时，规定: z0 = 1，z – n = . 求 (1 + 2i) ÷ (3 – 4i) 的值. (1 + 2i) ÷ (3 –