3.1.1椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容 椭圆及其标准方程 1 1 问题情境 问题1：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢? 通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections)． 2 问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原因吗?如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗? 现实背景——曲线概念——曲线方程——曲线性质——实际应用 3 学习目标 1．能通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线．能通过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值． 2．能通过绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养． 3．能建立适当的坐标系得到椭圆的标准方程，并能用它解决简单的问题．体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养． 4 2 新知建构 问题3：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 5 问题4：你能用精确的数学语言刻画椭圆吗? 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse)． 这两个定点叫做椭圆的焦点(focus)，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(focus distance)，焦距的一半称为半焦距． 椭圆的定义 当常数等于两定点间的距离时，点的轨迹是线段； 当常数小于两定点间的距离时，点的轨迹不存在． 6 问题5：遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立椭圆的方程．你能猜想建立椭圆方程的大致步骤吗?请尝试建立椭圆的方程． 以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy． M(x，y) F1 F2 x y (c，0) P＝{M|MF1＋MF2＝2a}  7 8 P F1 F2 x y O 9 问题6：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程又是什么? y O x F1 F2 M 此时椭圆的方程为 这也是椭圆的标准方程． 10 椭圆的方程 根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系  明确椭圆上的点满足的几何条件  将几何条件转化为代数表示列出方程  化简方程  检验方程 M F1 F2 x y y O x F1 F2 M 11 3 数学运用 12 3 数学运用 13 4 回顾反思 问题7： (1)椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么? (2)推导椭圆的标准方程时，建立直角坐标系的依据是什么? (3)椭圆标准方程的推导给了你怎样的启示?就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤?为什么是这些步骤? 14 5 学习评价 1．尝试通过其他化简方案推导椭圆的标准方程． 2．完成教科书习题3.1第1，2题． 实践：请利用细绳、铅笔，动手操作，画一个椭圆． 15 再 见 汇报人姓名 16 整理，得 a2－cx＝a eq \r((x－c)2＋y2)． ③ 两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋c2a2＋a2y2， 整理，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． ④ 即 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,a2－c2)＝1． ⑤ 因为 MF1＝ eq \r((x＋c)2＋y2)，MF2＝ eq \r((x－c)2＋y2)， 所以 eq \r((x＋c)2＋y2)＋ eq \r((x－c)2＋y2)＝2a． ① 移项，得 eq \r((x＋c)2＋y2)＝2a－ eq \r((x－c)2＋y2)， ② 两边平方，得 (x＋c)2＋y2＝4a2－4a eq \r((x－c)2＋y2)＋(x－c)2＋y2， eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． ⑥ 椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上． 我们称方程⑥为椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)的椭