2024年北师大版九年级中考数学复习专题：几何动点问题提升专项

北师大版中考复习专题：几何动点问题提升专项 类型一、动点引出的线段长范围问题 例1．如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB＝4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC．上的动点，MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则线段BM长x的取值范围是 　x＝2﹣2或＜x≤　． 解：∵平行四边形ABCD的面积为4，AB＝4，BE⊥CD， ∴BE＝1， ∵点P是唯一使得∠MPB＝45°的点， 则可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°， 设△MBP外接圆的圆心为O， 则∠MOB＝90°， ∴， ∵CD与AB之间的距离为1， 当⊙O经过点D时，即点P在点D处时， （x）2＝（2﹣x）2+（1﹣x）2 解得x＝； 当四边形PEBM是正方形时，圆与DE有两个交点， 此时BM＝BE＝1； ∴1＜x≤； 当△PMB的外接圆经过D时，算的x＝，只有当x＞时才成立， 要让有且只有一个点，D点应该在外接圆内． ∴＜x≤4； 当圆与DE相切时，如图， x+x＝1， 解得x＝2﹣2． 综上所述：线段BM长x的取值范围是x＝2﹣2或＜x≤4． 但是由题意：“MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得线段∠MPB＝45°的点”， 也就是说点P只能在线段DE上，如果x大于了，那么P点就在线段EC上了，与题意不符， 因此答案应该是：2倍根号2﹣2 或者 1＜x≤ （x＝时，P与D重合，P也在线段DE上）． 故答案为：x＝2﹣2或1＜x≤． 类型二、动点引出的图形面积问题 例2．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是 　π+　． 解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′， 当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″， ∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''， 在△BCD中， ∵∠BCD＝90°，DC＝AB＝1，BC＝， ∴tan∠DBC＝＝， ∴∠DBC＝30°， ∴∠CBC″＝60°， ∵BC＝BC'' ∴△BCC''为等边三角形， ∴S扇形BC′C″＝＝π， 作C''F⊥BC于F， ∵△BCC''为等边三角形， ∴BF＝BC＝， ∴C''F＝tan60°×＝， ∴S△BCC''＝×＝， ∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+． 故答案为：π+． 类型三、动点引出的线段长分类讨论问题 例3．如图，在矩形ABCD中，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过A作AF⊥AE交射线DC于点F，若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，EG＝　或　． 解：①如图1，当点F在线段DC上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝＝＝， ∵DF∥AB， ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴＝＝， ∵AF＝GF+AG， ∴AG＝AF＝， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴＝＝＝， ∴AE＝AF＝＝， 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝＝＝； ②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3， ； 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝＝5． ∵DF∥AB， ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴＝＝， ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴＝＝， ∴AE＝AF＝， 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝＝＝． 综上所述，EG的长为或． 故答案为：． 类型四、动点引出的最值问题 例4．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　　． 解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°， ∵MH⊥BC， ∴∠MHB＝90°， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1， ∴EH＝1﹣2x，