6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第3课时　余弦定理、 正弦定理的综合 6.4.3　余弦定理、正弦定理 [目标导航] 课标要求 1.理解并掌握三角形的面积公式,并能结合余弦定理、正弦定理解决有关面积的问题. 2.能够综合运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决问题. 素养达成 通过余弦定理、正弦定理的综合应用,提高学生的逻辑推理、数学运算的核心素养. 1 新知导学 素养启迪 三角形面积公式 思考1:在△ABC中,a边上高h如何用b,c和B,C表示? 答案:h=bsin C=csin B. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 思考2:已知△ABC的三边a,b,c,如何求面积? 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 2 课堂探究 素养培育 题型一　三角形面积公式的应用 (1)求△ABC的面积; 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 解三角形时,需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系,根据条件合理选用正弦定理或余弦定理,结合三角形的面积公式来解决问题. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 题型二　利用正弦定理、余弦定理和不等式求最值 (范围) [例2] (1)在钝角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,若a=1,b=2,则最大边c的取值范围是(　　) √ 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 求最值(范围)问题一般有两条思路: (1)化成边,通常需借助基本不等式并结合三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求解. (2)化成角,通常利用三角恒等变换,利用三角函数的性质求解,需注意角的范围. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 6 (1)解析:根据题意a2=b2+c2-2bccos A,即b2+c2-bc= (b+c)2-3bc=6,又由(b+c)2≥4bc,则有4bc-3bc=bc≤6,当且仅当b=c时,取等号,即bc的最大值为6. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 (2)已知三角形两边之和是8,其夹角是60°,求这个三角形周长的最小值和面积的最大值,并指出面积最大时三角形的形状. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 √ A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 √ 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 √ 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 4.已知△ABC的面积为2,其外接圆面积为π,则△ABC的三边长之积等于　　　　　.  8 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 谢谢观看 S=absin C=acsin B=bcsin A. 答案:第一步由余弦定理求得某一角,如cos A=,再由同角三角函数的基本关系式,求得sin A,再代入面积公式 求解. 解:(1)由题意得a2+c2=b2+2,即a2+c2-b2=2, 由余弦定理得cos B=, [例1] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2= b2+2,cos2B=. 整理得accos B=1,则cos B>0, 又cos2B=,则cos B=,sin B=, 所以ac==,S△ABC=acsin B=. 解:(2)因为cos A=,所以sin A=, sin C=sin(A+B)=cos B+sin B=, 由正弦定理得,==,所以=, 所以a+b+c=(sin A+sin B+sin C)·= (++)=. (2)若cos A=,求△ABC的周长. [变式与拓展1-1] 在△ABC中,已知a=4,b=4,B=45°,则 △ABC的面积为　　 　　.  解析:由正弦定理=,得sin A==, 因为a<b,所以A为锐角,所以A=30°, 所以C=180°-45°-30°=105°,故sin C=, S△ABC=absin C=×4×4×=4+4. 4+4 A.(,+∞) B.(2,) C.(,) D.(,3) 解析:(1)因为△ABC是钝角三角形,a=1,b=2,且c是最大边, 则由余弦定理得cos C=<0, 于是得c2>a2+b2=12+22=5,c>0,解得c>. 又由三角形两边之和大于第三边,有c<a+b=3,即<c<3, 所以最大边c的取值范围是(,3).故选D. (2)设△ABC的内角A,B,C的对边