6.2.4向量的数量积第2课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第2课时　向量的数量积的性质、运算律 6.2.4　向量的数量积 [目标导航] 课标要求 1.掌握平面向量数量积的性质. 2.掌握平面向量数量积的运算律并能用运算律进行运算. 3.会用平面向量的数量积解决有关向量模及夹角的问题. 素养达成 通过学习,培养学生的数学逻辑思维和数学运算素养. 1 新知导学 素养启迪 1.平面向量数量积的性质 (4)|a·b|≤|a||b|. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 2.平面向量数量积的运算律 对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 向量的数量积不满足结合律,即一般地,(a·b)c≠ (b·c)a.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而(b·c)a表示一个与a共线的向量,故两者一般不相等. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 2 课堂探究 素养培育 题型一　应用运算律进行平面向量的运算 √ 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 求向量的数量积,通常先根据向量的加、减法和数乘运算转化为已知向量,再根据运算律进行相关的运算. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 -18 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 题型二　与向量模有关的问题 √ 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 (1)求向量模的问题一般先求模的平方,利用a2=|a|2,转化为求向量的数量积问题. (2)从几何角度看,向量模表示一条线段的长度,故有时利用特殊向量可证明相关的几何结论. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 题型三　两个向量的夹角问题 √ 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 (1)求向量夹角的步骤:先分别计算数量积与模,再代入公式计算夹角的余弦值,最后根据两向量夹角的取值范围和余弦值得出夹角的值. (2)两非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0. 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 √ 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 √ 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 √ 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 √ 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 22 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 1 2 3 4 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 5 谢谢观看 设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b= -|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|==. [例1] (1)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,a与b的夹角为,则(a-b)·(2a+b)等于(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-5 解析:(1)因为|a|=1,|b|=, a与b的夹角为,所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2=2×12-1××-=-1.故选C. 解析:(2)因为=+,=-, 所以·=(+)·(-)=-=9-4=5. (2)已知平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,则·=　　. [变式与拓展1-1] (1)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与 b的夹角为,则(a+2b)·(a-3b)=　　　　.  解析:(1)因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为, 所以a·b=3, 所以(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=32-3-6×22=-18. (2)已知等边三角形ABC的边长为3,若=-2,则·=　　　　.  - 解析:(2)因为=-2,故点M为线段BC上靠近点B的三等分点,故||=1, 所以·=(+)·=||||cos 120°+ ||||cos 0