8.6.3 平面与平面垂直（一）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直（一） 教学目标 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.(重难点) 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.(重点) 3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.(重点) 前面我们学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，研究了直线与直线垂直和直线与平面垂直之间的联系和转化.接下来我们将学习平面与平面的垂直关系，按照定义、判定、性质的顺序，我们先来研究两个平面垂直的定义和判定定理. 问题1 请大家回忆我们是如何定义直线与直线垂直和直线与平面垂直的？ 两直线垂直：两条直线的夹角等于直角； 直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直. 追问1 两个平面垂直是两个平面相交关系中的一种特殊情况，你能找出两个平面相交的实例吗？ 打开的门；翻开的书；打开的笔记本等 追问2 在平面几何中，角是如何定义的？类比之，两个平面相交时，为了刻画他们的相对位置，如何定义它们所成的角？请你阅读教科书第155页，给出回答. 从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角. 半平面： 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面. 二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 图形表示： 符号表示： 二面角，二面角，二面角，二面角. 问题2 在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角有不同的大小，那么我们该如何刻画二面角的大小呢？根据前面研究异面直线所成的角与直线与平面所成角的经验，你有什么想法？ 用一个平面角来刻画两个平面所形成的二面角. 追问1 我们常说“把门开大一些”，是指那个角变大一些？这个平面角的顶点该取在哪？角的两边又该怎么取？ 总结 二面角的平面角必须具备如下三个条件： 1.角的顶点在棱上； 2.角的两边分别在两个半平面内； 3.角的两边分别与棱垂直. 二面角的平面角的定义： 如图，在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 思考 ∠AOB的大小与点O在上的位置有关吗？为什么？ 追问2 二面角的大小可以用它的平面角来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.根据二面角的平面角的定义，你能给出他的取值范围是什么吗？ 二面角的平面角的范围是. 当两个半平面重合时，平面角的大小为0°； 当两个半平面合成一个平面时，平面角的大小为180°. 平面角是直角的二面角叫作直二面角. 追问3 教室中相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别支出构成这些二面角的面、棱、平面角及其大小. 追问4 类比空间中两条直线相互垂直的定义，你能给出平面与平面垂直的定义吗？ 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. 符号表示：平面与垂直，记作⊥. 图形表示： 问题3 按照研究直线、平面的位置关系的路径，接下来要研究两个平面垂直的判定，类比直线位置关系的判定，我们可以用什么方法来判断平面与平面是否垂直？ 追问1 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？ 如果将细线和墙分别看成是直线和平面，抽象出来的结论是 什么？ 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 追问2 如图，你能利用长方体模型解释上述结论吗？ 追问3 上述结论就是平面与平面垂直的判定定理，你能用三种语言表示出来吗？ 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号语言：，. 图形语言： 追问4 这个定理的作用是什么？ 追问5 你能用定义证明上述结论吗？ 例1　如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值. 求二面角的步骤： 一作二证三求 跟踪训练1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小. 例1 如图所示，在正方体ABCD-中，求证平面BD⊥平面AC. 例2　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面ACD′⊥平面BDD′B′. ∵ABCD－A′B′C′D′是正方体， ∴BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC， 又AC⊥BD，BD∩BB′＝B，BD，BB′⊂平面BDD′B′， ∴AC⊥平面BDD′B′， ∵AC⊂平面ACD′， ∴平面ACD′⊥平面BDD′