第一章 特殊平行四边形与正方形有关的常考模型课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 专项2 与正方形有关的常考模型 1 类型1 十字模型 1.在正方形中，动点，分别从， 两点同时出发，以相同的速度 在直线， 上移动. 3 求解运动问题时，往往前面问题的解答思路可用于后面问题的求解. 4 （1）如图1，当点自向、点自向移动时，连接和,, 交 于点，请写出与 的关系，并说明理由. 解：， .理由如下： 四边形 是正方形， ， , 又， ， ， . ， , ， . 5 （2）如图2，当点，分别移动到边，的延长线上时，连接和 ， （1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明） 解：成立. 6 （3）如图3，当，分别在，的延长线上移动时，连接和 ， （1）中的结论还成立吗？请说明理由. 解：成立．理由如下： 同（1）可证， ． 如图，延长交于点，则 ， , , . 7 2.[2023南宁四十七中开学考试]在正方形中，是边 上一点 （点不与点，重合），连接 . 8 【感知】 如图1，过点作交于点.易证 . （不需要证明） 【探究】 如图2，取的中点，过点作交于点，交 于点 . 9 （1）求证： . 证明：如图，将平移到 处， 则， . ，， . 四边形 是正方形， , ， 10 ， . 在和中， ， ， . 11 （2）连接.若，则 的长为___. 2 12 【应用】 如图3，取的中点，连接.过点作交于点 ， 连接,.若，则四边形 的面积为___. 9 【解析】 在中， ，是 边上的中线， .易证, .又 ，且， . 13 类型2 旋转半角模型 ; ; 的周长为 3.[2023曲靖一中期中]已知：正方形中， ，将 绕点按顺时针方向旋转，它的两边分别交， （或它们的延长线） 于点， . （1）当绕点旋转到 时（如图1），求证： . 15 解：如图1，延长至点,使得，连接 . 易证 ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即 ， . 16 （2）当绕点旋转到时（如图2），线段，和 之间的数量关系是________________. 17 （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和 之 间又有怎样的数量关系，并对你的猜想加以说明. 18 解 .理由如下： 如图2，在上截取，连接 . 易证，， ， ， ， ， 又， ， ，即 ， . 19 类型3 手拉手模型 ； 4.小明参加数学兴趣小组的探究活动，将边 长为2的正方形与边长为 的正方 形按图1放置，与 在同一条直线 上，与 在同一条直线上． （1）小明发现 ，请你帮他说明理由； 21 如图1，延长交于点 . ， ， ， . 解： 四边形， 均是正方形， , ， ， ， . 22 （2）如图2，小明将正方形绕点按逆时针旋转，当点 恰好落在线 段上时，请你帮他求出此时 的长． 解 四边形， 均是正方形， , ， ， ， ， ， . 23 如图2，过点作于点 ,则 . 是正方形的对角线， . 在中， ， ， 可得 . 在中， , ， . 24 $$