专题6.2 外接球与内切球（九个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题6.2 外接球与内切球 题型一 墙角模型 【解题方法】1.长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 2.满足以下图形特征可补成长方体 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 【例1】如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为 ． 【变式1-1】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示的三棱锥中，，，，，且，，则其外接球表面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型二 对棱相等模型及共斜边模型 【解题方法】1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 2. 【例3】在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式2-1】在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 【变式2-2】将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为 .    题型三 柱体模型 【解题方法】圆柱（棱柱）模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面圆（外接圆）的半径） 【例5】已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【例6】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ． 【变式3-1】侧棱长与底面边长均为的正三棱柱的外接球的表面积为，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式3-2】在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（） A． B． C． D． 【变式3-3】若等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的外接球的表面积为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 题型四 线面垂直模型 【解题方法】线面垂直模型可以补成棱柱模型 【例7】三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例8】四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为（　　） A．4π B．12π C．16π D．32π 【变式4-1】已知三棱锥面，在底面中，，，则此三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式4-2】在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体为鳖臑，⊥平面，且，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为 ． 【变式4-3】已知都在球的球面上，且平面．则该球的体积为 ． 题型五 正锥模型 【解题方法】圆锥（正棱锥）模型解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 【例9】在一次手工劳动课上，需要把一个高为，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为 【例10】已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 【变式5-1】已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为 ． 【变式5-2】已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 . 【变式5-3】已知扇形的面积为，圆心角为，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为 ． 题型六 面面垂直模型 【解题方法】若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 【例11】已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB