第二十七章 第2讲 相似三角形的判定 讲义 (知识精讲+典题精练) 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第2讲　相似三角形的判定 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 相似三角形的判定 相似三角形的判定 √ 【知识框架】 平行定理 相似三角形的判定 判定定理 模块1　相似三角形的判定 【知识精讲】 1、 平行定理： 1．定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 常见题模型如下： 2．方法点播：前三种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系． 2、 判定定理： 1．判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似） 常见题模型如下： 2．判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，三角形相似．（如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似） 3．判定定理3：三条边对应成比例，两三角形相似．（如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似） 4．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 6. 如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 【经典例题】 【例1】 如图，在中，，点在边上，若在增加一个条件就能使，则这个条件可以是 ． 【例2】 直线与的边相交于点，与边相交于点，下列条件：①；②；③；④中，能使与相似的条件有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】 如图，已知中，，，与相交于， 则的值为（ ）． A． B． C． D． 在中，，的延长线交的延长线于， 求证：． 【例4】 如图所示，如果分别在上，且． 求证：． 【例5】 如图，在等腰梯形中，，过作，为梯形内一点，连接并延长交于，交于，再连接．若． 求证：． 【例6】 如图所示，,交于点为上一点，且． 求证： 【例7】 已知，如图，为内一点，连结，以为边在外作．求证：． 【例8】 如图，在中，垂足为，且，垂足为，交的延长线于点． 求证：． 【例9】 如图，已知，若，，，求证：． 【例10】 如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（ ） A． B． C． D． 【例11】 如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、、，若，，则的长是 ． 【例12】 如图，已知，，求证：． 【例13】 如图，是的角平分线，求证： 【例14】 在中，，平分交于点，求证： 【例15】 已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若 求证：、与成等角.． 【随堂练习】 【习题1】 如图，已知四边形是平行四边形．求证：． 【习题2】 如图，在矩形中，，将其折叠使落在对角线上，得到折痕，那么的长度为_____________． 【习题3】 如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______． 【习题4】 如图，在中（），放置边长分别的三个正方形，则的值为 ． 【课后作业】 【作业1】 如图，已知是内一点，分别是的中点．求证：． 【作业2】 如图，中，，点是内一点，使得，，则 ． 【作业3】 如图，是斜边上的中线，过点作垂线直于的直线交于点，交的延长线于点，求证：． 【作业4】 如图，在直角梯形中，，为上一点，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，那么这样的点有几个？为什么？ \ 8 / 第2讲 相似三角形的判定 学科网（北京）股份有限公司 $$