第二十七章 第1讲 比例与相似三角形性质 讲义 (知识精讲+典题精练) 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第1讲　比例与相似三角形性质 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 比例与比例线段 比例的性质 √ 平行线分线段成比例定理 √ 相似三角形的性质 相似三角形的性质 √ 位似 √ 【知识框架】 比例与比例线段 比例与相似三角形性质 相似三角形的性质 相似三角形的性质 平行线分线段成比例定理 比例的性质 位似 模块1　比例与比例线段 【知识精讲】 1、 比例的性质 1．比例的基本性质：； 2．反比定理：； 3．更比定理：(或)； 4．合比定理：； 5．分比定理：； 6．合分比定理：； 7．等比定理：. 2、 成比例线段 1．比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的项：在比例式（）中，称为比例外项，称为比例内项，叫做的第四比例项． 三条线段（）中，叫做和的比例中项． 3．黄金分割：如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比． 3、 平行线分线段成比例定理 1．定理；三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为． 当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有． 【经典例题】 【例1】 若，则（ ） A． B． C． D． 【例2】 已知：，则 ． 【例3】 已知：．求． 【例4】 设，则_______． 【例5】 如图所示，一张矩形纸片的长，宽，分别为、的中点，这张纸片沿直线对折后，矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，则等于（ ） A． B． C． D． 【例6】 如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求． 【例7】 如图，已知，，则下列比例式中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【例8】 已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（ ） A B C D 【例9】 如图，已知梯形中，对角线、分别交中位线于点、，且，那么等于 ． 【例10】 如图，在中，，，，． （1）求的值； （2）求的长． 【例11】 如图， 中，，有一内接正方形，连接交于， ，，求． 【例12】 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）试猜想时的值，并证明你的猜想. 【例13】 如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于．若，求证:． 【例14】 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证： 模块2　相似三角形的性质 【知识精讲】 1、 相似的概念 1．相似形：具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性：两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2、 相似三角形的概念 1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”． 2．相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 3、 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，与相似，则有． 2．相似三角形的对应边成比例 如图，与相似，则有（为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 对应中线：与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）． 对应高线：与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 对应角平分线：与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得． 4、 位似 1．位似图形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一